·综合费用最低 降低综合费用是实现配送业务经济效益的基本要求。 在配送中， 与取送货物 有关的费用包括：车辆维护和行驶费用、车队管理费用、货物装卸费用、相关工 作人员工资费用等。 ·准时性最高 由于客户对交货时间有较严格的要求， 为提高配送服务质量， 有时需要将准 时性最高的作为确定配送路线的目标。 ·运力利用最合理 该目标要求使用较少的车辆完成配送任务， 并使车辆的满载率最高， 以充分 利用车辆的装载能力。 ·劳动消耗最低 即以司机人数最少，司机工作时间最短为目标。
j 1
ijk

y kj y ki
ijk
( j 1, 2, , N ; k )
(6)
ijk
( i 1, 2, , N ; k ) ( S V \ 0 , h S , k ) ( i , j 1, 2, , N ; k ) ( i 1, 2, , N ; k )
(7) (8) (9) (10)
x
iS jS
y hk
xijk 0,1
y ki 0,1
式（1） 、 （2）表示变量约束；式（3）表示目标函数为车辆行驶的最短距离 和； 式(4)表示分配给每一辆车的客户需求量之和不大于车辆的最大装载量； 式(5) 表示每个客户只能由一辆车配送；式（6） 、 （7）表示两个变量之间的约束关系； 式（8）表示为保证车辆 k 的行驶路线的连通性，避免出现与配送中心分离的路 线，它可以用支路消去约束代替，即
x
iS jS
ijk
S
S 1,2, , N ,2 S N 1; k
2.多车场车辆路径问题
多车场车辆路径问题可描述为：有 M 个车场，各自拥有容量为 Q 的车 K m (m 1,2, , M ) 辆，负责对 N 个客户进行货物分送工作；客户 i 的货物需求量 为 q i ， qi Q ，客户 i 和客户 j 之间的运输成本为 d ij (i, j 1,2, , N ) ，每个客户 可以由任意一个车场的车辆服务， 但只能由一辆车服务一次， 每辆车完成任务后 必须返回原车场， 要求一合适的车辆调度方案， 使各车场的车辆能满足所有客户 的要求，并使车辆的总运输成本最低。 设客户的编码为 1,2, , N ，车场编码为 N 1, N 2, , N M ，定义变量 x
物流配送车辆路径问题
物流配送车辆路径问题可以归纳为一般网络模型： 设 G＝(V,E,A)是一个连通 的混合网络，V 是顶点集（表示物流中心、客户、停车场等） ，E、A 分别为无向 的边集和有向的弧集，E 中的边和 A 中的弧均被赋权（可以表示配送的距离、时 间或费用） ，V1、E1、A1 分别为 V 、E、A 的子集，求满足约束条件（包括客户 的货物需求或供应数量约束、 需求或供应时间约束、 配送车辆一次配送的最大行 驶距离约束、车辆的最大载重量约束等） ，并包含 V1、 、E1、A1 的一些巡回路线， 使目标函数取得优化， 目标函数可以取配送总里程最短、 配送车辆总吨位公里数 最少、配送总费用最低、配送时间最少、使用的配送车辆数最少、配送车辆的满 载率最高等。
mk ij
1 0
车场m的车辆k从客户i行驶到客户j 否则
(11)
则多车场车辆路径问题的数学模型为： min Z
N M N M M i 1
d
j 1 m 1 k 1
Km
ij
mk xij
(12)
s.t
x
j 1 k 1 N
N
Km
mk ij
Km
N
i, m N 1, N 2,, N M
N M M
x
i 1 m 1 k 1
mk ij
1
(16)
q x
i i 1 j 1
N N M
mk ij
Q
m N 1, N 2, , N M k 1,2, , K m (17)
N M
j N 1
x
mk ji

N M
j N 1
(2)
则车辆路径问题的数学模型为：
min
Z＝ c ij xijk
i 1 j 1 k 1
N
N
K
(3)
s.t
q
i 1 K
N
i
y ki Q
( k {1, 2, , K } )
(4)
y
k 1 N i 1 N
ki
1
( i 1, 2, , N )
(5)
x x
● ● ● ●
● ● ● ●
●
●
● 图 1 车辆路径问题示意图
一、车辆路径问题的分类
车辆路径问题的目标函数和约束条件
(1) 目标函数 对配送车辆路径的问题，可以选用一个目标，也可以选用多个目标。经常选 用的目标函数有： ·配送总里程最短 配送里程与配送车辆的耗油量、磨损程度以及司机疲劳程度直接相关，它直 接决定运输成本，对配送业务的经济效益有很大影响。 ·配送车辆的吨位公里数最小 该目标将配送距离与车辆的载重量结合起来考虑， 即以所有配送车辆的吨位 数（最大载重量）与行驶距离乘积的总和最少为目标。
(2) 约束条件 配送车辆路径问题应满足的约束条件主要包括： ·满足所有客户对货物品种、规格、数量的要求； ·满足客户对货物发到时间范围的要求； ·在允许通行的时间进行配送（如有时规定白天不能通行货车等） ； ·车辆在配送过程中的实际载重量不得超过车辆的最大允许载重量； ·在配送中心现有运力范围内。
二、车辆路径问题的数学模型
1. 单车场车辆路径问题 设配送中心编号为 0，客户编号为 1,2, , N ，配送中心 0 有 K 辆配送车辆， 每辆的载重量为 Q ，需要向 N 个客户送货，客户 i 的需求量为 q i (1,2, , N ) ，客 户 i 到 j 的距离为 cij (i, j 1, 2, , N ) ，配送中心到各客户的距离为 coj ( j 1,2, ， N ) ，另外，令 1 y ki 0 1 x ijk 0 客户i的任务由车辆k完成 否则 车辆k从客户i行驶到客户j 否则 (1)
x
mk ij
0
i m N 1, N 2, , N M k 1,2, , K m (18) (19)
mk xij {0,1}
模型中，式(12)表示目标函数，即最短路径长度；式(13)表示各车场派 出的车辆数目不能超过该车场所拥有的车辆数；式(14)确保车辆都是从各自 的车场出发，并返回原车场；式(15)、( 16)保证每个用户只能被一辆车服务 一次；式（17）定义了车辆容量约束； （18）式表示车辆不能从车场直接到 车场。
i, m N 1, N 2, , N M k 1,2, , K m
(13)
x
j 1
mk ij
x mk ji 1
j 1
(14) (15)
N M M
x
j 1 m 1 k 1 Km
Km
mk ij
1
i 1,2,, N
j 1,2, , N