x(n)
x(t) t nT
Asin( 0nT
)
Asin( 0n )
T 数字频率与模拟频率的关系
T 2 f
fs
fs
离散信号（序列）的基本运算
1) 位移（延时）
x(n) x(nN)
2) 相加与相乘
x1(n) + x2(n) c x(n)
3) 卷积 y(n) x(n) h(n) 卷积的计算
对LTI系统: y(n) = x(n)*h(n) 由z变换的性质：Y(z) = X(z) H(z) H(z)称为LTI离散系统的系统函数 当H(z) ROC包含单位圆时
k
k 0
k 1
k 0
zz bz za
zb
za
a z b
Im[z]
半径为|b|
Re[z]
半径为|a|
双边序列当|a|<|b|时其z变 换存在，收敛域为 |a|<|z|<|b|的环状区域
当|a||b|时没有公共收敛域， 即其z变换不存在！
系统函数H(z) (transfer function, system function)
() phase response
y(n) x(n) h(n)
Y (e j ) H (e j ) X (e j )
real( ) imag( ) abs( ) angle( )
离散系统z域分析
z变换定义及收敛域
X (z) x[n]zn n
收敛域(ROC): R |z| R+
1) 有限长序列 z 变换的收敛域
n0
1
2
1
1}
x(n)={1, 1, 2, -1, 1; n= -1, 0, 1, 2, 3}
典型离散信号（序列）
1. 单位脉冲序列
1 n 0 (n) 0 n 0
2. 单位阶跃序列
1 n 0 u(n) 0 n 0
3. 矩形序列
1 0 n N 1 RN (n) 0 otherwise
选择合适的I和D，就能够任意地改变采样频率fs 一般是先做I倍插值，再做D倍抽取 时域抽取，造成在数字频率域上频谱展宽 时域插值，造成在数字频率域上频谱压缩
加防混叠滤波器的抽取器系统
将待抽取序列的频谱限制在| |范围内
D
x(n) h(n)
↓D
xd (n)
H
(e
j
)
1,
0
| | D
x(n) ↑I xe (n) h(n) xI (n)
1 1 az1
z
z
a
az1 1 za
Im[z]
因果序列仅当 |z|>|a| 时其ZT存在，
其收敛域是半径为|a| 的圆外区域。
|a| Re[z]
3) 反因果序列z变换及其收敛域
f (k) aku(k 1)
1
F (z) aku(k 1)zk ak zk (a1z)k
k
k
k 1
a 1 z 1 a1z
2. 差分方程
y = conv(x, h)
N
M
y(n) bi x(n i) a j y(n j)
i0
j 1
y = filter(b,a,x)
3.离散系统的频率响应
DTFT(h(n)) H (e j) H (e j) e j()
H (e j ) : magnitude response [H,w]=freqz(b,a)
z az
a1z 1 za
Im[z]
Re[z] a
反因果序列仅当 |z|<|a| 时其ZT存在， 其收敛域为半径为|a|的圆内区域。
4）双边序列的z变换及其收敛域
f (k) bku(k 1) aku(k) b1z 1 az1 1
1
F (z) bk zk ak zk (b1z)k (az1)k
fs
If s
If s
H
(e
j
)
I
,
| | I
0,
x(n)
↑I
h(n)
↓D xId (n)
使用一个低通虑波器
无论是抽取还是插值，其输入到输出的变换都相当
于经过一个线性时变系统!!!
离散系统
模拟 前置预 滤波器
xa(t)
PrF
A/D 数字信号 D/A 变换器 处理器 变换器
ADC
DSP
DAC
模拟 模拟 滤波器
数字信号处理基础
1.1 离散时间信号与系统 1.2 数字滤波器
总结
信号的分类
1. 连续时间信号和离散时间信号 2. 周期信号和非周期信号 3. 确定性信号和随机信号 平稳和非平稳（时变）信号 4. 能量信号和功率信号 5. 一维信号、多维信号
离散信号(序列)的表示
2
1
1
1
2
n
-1
0
1
3
-1
x(t) tnT x(n) {1
y(n) x(m)h(n m) m
y = conv(x, h)
4) 抽取(decimation)
x(Dn)
序列 x(D是n) 的x(抽n)取序列
D为正整数
每D个样值抽取一个
5) 插值(interpolation) x(n/I)
序列 x( n是) x的(n插) 值序列
I
I为正整数
每两个样值之间插入（I -1）个零值
f (k) (1 2 3 2 1) k 0
F (z) f (k)zk z2 2z 3 2z1 z2 k ROC 0 z
有限长序列的z变换的收敛域至少是有限z平面
2) 因果序列z变换及其收敛域
f (n) anu(n)
F (z) anu(n)zn (az1)n
n
n0
4. 指数序列 x(n) an , n Z
anu(n)：右边指数序列 |a| 1序列有界 anu(n)：左边指数序列 |a| 1序列有界
5. 复指数序列
x(n) e( j)n ene jn en (cos n j sin n)
6．正弦型序列
x(n) Asin( n0 ) 0 数字域频率 x(t) Asin( 0t ) 0 模拟角频率
ya(t)
PoF
ห้องสมุดไป่ตู้x [n]
离散时 间系统
y[n]
输入序列
输出序列
y(n) = T{x(n)}
系统性质
1. 线性
T{ax1(n) bx2 (n)} aT{x1(n)} bT{x2 (n)} 2. 时不变 LTI (linear time-invariant)
定义：如T{x(n)}=y(n)，则T{x (n-m)}=y(n-m)
3. 因果性（Causality） 定义:系统n时刻的输出只与n时刻及以前的输入有关
因果的LTI：h(n)=0, n<0.
4. 稳定性
有界输入产生有界的输出
LTI系统稳定的充分必要条件 h(n) n
系统的描述
1. 单位脉冲响应h(n) x(n)
y(n)
h(n)
输入序列
输出序列
y(n) x(n) h(n)