x(n) Bx
5) 实序列的偶部和奇部
x(n) xe (n) xo (n)
1 xe (n) [ x(n) x(n)] 2 1 xo (n) [ x(n) x( n)] 2
6) 序列的单位脉冲序列表示
x ( n)
m
x(m) (n m)

２ ｚ变换
X ( z)
n n x ( n ) z
z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。 z变换收敛域的特点： 1） 收敛域是一个圆环，或向内收缩到原点，或向外扩展到∞，只有x （n）=δ（n）的收敛域是整个 z 平面。 2） 在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是解析函数 （有意义）。
m
x(m) (n m) x(m)h(n m)
m


x ( n)
y ( n)
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)

离散卷积（线性卷积或直接卷积）
卷积过程：(图示方法) ① 对 h（ m）绕纵轴折叠，得h（-m）；
例 已知
解:
X ( z)
1 z 4 1 (4 z )( z ) 4 4 ,
z2
求z反变换。
X ( z ) z n 1
ห้องสมุดไป่ตู้
z n 1 1 (4 z )( z ) 4
1）当n≥-1时, z 不会构成极点，所以这时 1 c内只有一个一阶极点 zr 因此
4 1 n 1 x(n) Re s[ z /(4 z )( z )] 1 4 z 4
1 y(n) h(n) 1.5 u(n) 稳定的、因果系统 2
n
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② 输入相同，但初始条件改为 n>0，y（n）=0
差分方程写为
y(n 1) 2y(n) 1.5x(n)
y(0) 2y(1) 1.5x(1) 0
1 y(1) 2y(0) 1.5x(0) 1.5 2
判断y(n)=12x(n-1)+11x(n-2)是否是时不变系统？ 判断y(n)=12nx(n-1)+11x(n-2)是否是时不变系统？
3 线性时不变系统（LTI, Linear Time Invariant）
既满足线性要求又具有时不变性的系统。 线性时不变系统可以用单位脉冲响应h(n)来表示。 问题：LTI系统输入任意的序列x(n), 输出如何？
i 0 i 1
M
N
离散系统差分方程表示法有两个主要用途： ① 由差分方程得到系统结构； ② 求解系统的瞬态响应；
例：由一阶差分方程 y（n）=ay（n-1）+x（n）画网络结构.
由此得到它的网络结构如图 y（n）
x（n） T
a 网络结构
在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解
1 一阶差分方程系统： y ( n) 1.5 x ( n) y ( n 1) 2 1 n 0 输入为 x(n) (n) 0 n 0
1.1
离 散 时 间 信 号
1 几种常用的典型序列
（１）单位脉冲序列
1, (n) 0,
n0 n0
（２）单位阶跃序列
1, u(n) 0,
n0 n0
（３）矩形序列
1, RN (n) 0,
0 n N 1 n 0, n N
（４）实指数序列
T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)] =ay1(n)+by2(n) 判断y(n)=7x2(n-1)是否是线性系统
2
时不变系统
如果 T[x(n)]=y(n)， T[x(n-n0)]=y(n-n0)，即在n时刻输入x(n-n0 )输出亦为y(n-n0) 则称系统是时不变系统。即系统的特性不随时间而变化
２ 序列的运算
1) 序列的相加 z(n)=x(n)+y(n) 2) 序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)
3) 序列的移位 y(n)=x(n-n0) 4) 序列的能量 平方可和序列 绝对可和序列
S
n


x ( n)
2
2
n



x ( n)
有界序列
n
x ( n)
δ(n)
T[δ(n)]

h(n)
δ(n) h(n)
x(n)可表示为
x ( n)
m
x(m) (n m)
h( n) x ( n)
y ( n) x ( n) * h( n)
( n) h( n)
(n m) h(n m)
x(m) (n m) x(m)h(n m)
逆z变换
1 x ( n) 2j
n 1 X ( z ) z dz c
c ( Rx , Rx )
逆z变换是一个对X（z）zn-1进行的围线积分，积分路径C是一条 在X（z）收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。
j Im[ z ]
Rx
0
Re[ z ]
Rx
x(n) a nu(n)
（５）正弦序列
x(n) sin(n0 )
（6）复指数序列
x(n) Ae
( j0 ) n
Ae (cos 0n j sin 0n)
n
当 0 时x(n)的实部和虚部分别是余弦和正弦序列。
x(n) =e (0.65 + j0.5)nu(n).
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1.3 离散信号的傅里叶变换(DTFT)与z变换
１ 离散信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）
离散信号的DTFT(Discrete Time Fourier Transform)定义

X (e
j
)
n
jn x ( n ) e
DTFT中的级数求和不一定总是收敛的，若x(n)绝对可和，则该 级数绝对收敛(充分条件)。 平方可和序列的DTFT也存在，平方可和序列不一定绝对可和。
-2
1.5 系统的频率响应与系统函数
1 定义 LTI系统的单位脉冲响应h(n)可用来表示该系统的特性 线性时不变离散系统: y (n) x(n) h(n) 两边取z变换: 得:
则
1 1 x ( n ) y * ( n ) X ( v ) Y * ( 1 / v *) v dv c 2j n
2

序列能量计算：
1 x ( n ) x ( n ) x ( n ) * 2 n n

1 X (e ) X e d 2
非因果系统： 如果系统的输出y（n）取决于x（n+1），x（n+2），…，即系 统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不现实的系统 （不可实现，对时间系统而言）
例：分析单位脉冲响应为h（n）=anu（n）的线性时不变系统的因果性 和稳定性。
稳定的因果系统： 既满足稳定性又满足因果性的系统。 这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可和的，即
n 1
1 n 4 , 15 因此x(n) 1 4n 2 , 15
n 1 n 2
3
DTFT与z变换的关系
X (e ) X ( z )
4 Parseval定理
j
z e j

n
jn x ( n ) e

若有两序列 x（n），y（n），且 X(z)=Z[ x(n)] Rx-<|z|< Rx+ Y(z)=Z[ y(n)] Ry-<|z|< Ry+ 收敛域满足条件： Rx- Ry-<1， Rx+Ry+>1
留数的求法：
单极点留数求法：
Re s[ F ( z ), zk ]z zk ( z zk ) F ( z )
m重极点留数求法：
z zk
Re s[ F ( z), zk ]z zk
1 d m1 m [( z z ) F ( z )] k m1 m 1! dz
z zk
h ( n ) n 0 h ( n ) 0 n0 | h(n) | n
5 系统的差分方程描述
差分方程——描述系统输入输出之间的运算关系 N阶线性常系数差分方程的一般形式
y (n) ai x(n i) bi y(n i)

j * j



| X (e j ) |2 d
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即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。
1.4 离散时间系统
离散时间系统：将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的变换或运算。
y(n)= T[x(n)]
x (n)
T[ x(n)]
y(n)
1 线性系统
既满足齐次性又满足叠加性的系统
解：① 设初始条件为n<0时， y（n）=0 1 y (0) 1.5 x(0) y (1) 1.5 2 1 y (1) 1.5 x(1) y (0) 0.75 2 2 1 1 y(2) 1.5x(2) y(0) 1.5 0.375 2 2
离散序列的逆傅里叶变换(IDTFT)为
1 x(n) = 2π

π
-π
X(e jω )e jωndω
注意：
（ 1） 由于 e j
e
j ( 2 )
，所以 X (e ) 是以2π为周期的周期函数。

j
（2）
DTFT
X (e