•
γi----第层土的重度，地下水位以下取浮重度。
• 从上面公式可以看出，这里计算的自重应力是指有效自重应力，按上述计算出的四
层土的竖向自重应力分布如上图所示。
三、下埋不透水层时自重应力的计算
• 在地下水位线以下存在不透水层时，由于不透水层不存在浮力，所以，层面及层面 以下自重应力应按上覆土层的水土总重计算，如上图所示。
• 对于路基、坝基及薄板基础等柔性基础，其刚度很小，可近似地看成是理想柔 性基础。此时，基底压力分布与作用的荷载分布规律相同，如由土筑成的路基， 可以近似地认为路堤本身不传递剪力,那么它就相当于一种柔性基础,路堤自重引 起的基底压力分布就与路堤断面形状相同是梯形分布，如上图所示。
2．刚性基础
• 是指基础刚度大大超过地基刚度，理论与实测证明，在中心受压时，刚性基础的接 触压力为马鞍形分布，如下图所示。当上部荷载加大，基础边缘土中产生塑性变形 区，边缘应力不再增大，应力分布变为抛物线形。当荷载继续增加接近地基的破坏 荷载A＝bl；
•
M——偏心矩， M=(F+G)e ；
• W ——基底抵抗矩，W=bl2/6。
•则
• 从上式可以看出： （1）当e<l/6 时， pmin > 0 ,基底压力呈梯形分布； （2）当e=l/6时， pmin = 0 ,基底压力呈三角形分布；
• 但基底与土之间是不能承受拉应力的，这时产生拉应力部分的基底将与土脱开，而 不能传递荷载，基底压力将重新分布，如下图所示。
• 采用极坐标时，Flamant解为 • 若采用直角坐标系，可根据弹性力学中的坐标变换公式，即
• 在地基基础工程中，最重要的附加应力分量是竖向附加应力σz。由上图可
见，
，
• 代入上式，可得
•则
• 式中： σz——地基中某点的竖向附加应力； αl——线荷载作用下的竖向附加应力系数；
• q——线荷载集度；
• 采用极坐标时，Boussinesq解为 •
式中:σz——竖向附加应力； σr ——径向附加应力； σθ——切向附加应力；
τrz,τzθ,τrθ——附加剪应力； Q——竖向集中力； v——泊松比。
• 同样，最重要的是竖向附加应力σz 。由上图可见， • 代入上式，可得
•令
• 式中：
• αg——集中荷载作用下的竖向附加应力系数；
四、土中应力的种类
（1）自重应力：由土体重力引起的应力称为自重应力。自重应力一般是自土形成之 日起就在土中产生，因此也将它称为长驻应力。
（2）附加应力： • 由于外荷载（如建筑物荷载、车辆荷载、土中水的渗透力、地震力等）的作用，在
土中产生的应力增量。 • 自重应力存在于任何土体中，附加应力则存在于受荷载影响的那部分土层中。 • 修建建筑物前，土中应力属于自重应力；修建建筑物后，土中的应力为自重应力
§3 基底压力分布及简化计算
• 基底压力：基础底面与地基间的接触压力称为基底压力。
• 为了计算上部荷载在地基中引起的附加应力，应首先研究基底压力的大小及分布规 律。
一、基底压力的实际分布规律
1．柔性基础
• 若一个基础作用着均布荷载，并假设基础是由许多小块组成，如下图所示，各小块 之间光滑而无摩擦力，则这种基础即为理想柔性基础（即基础的抗弯刚度），基础 上的荷载通过小块直接传递到地基土上，基础随着地基一起变形，基底压力均匀分 布，但基础底面的沉降则各处不同，中央大而边缘小。
• 式中：F——上部结构传至每延米长度基础上的垂直荷载，kN/m； • G——每延米长度的基础自重与其台阶上的土重之和，取γG=20kN/m3计算，kN/m。
(3)双向偏心荷载作用下的矩形基础 • 若矩形基础受双向荷载作用，如下图所示。 则基底压力可按下式计算
• 式中：Wx——基底对轴的抵抗矩，WX=bl2/6
v 0.15～0.20
0.20～0.25
0.25 0.25 0.30 0.35 0.25 0.35 0.42
二、成层土竖向自重应力的计算
• 天然地基土一般都是成层的，而且每层的重力密度也不同，如下图所示。
• 则竖向自重应力 • 计算公式为：
• 式中：n--深度z范围内的土层总数；
•
hi----第i层土层厚。当地下水位面位于同一土层时，地下水位面也应作为分界面；
§4 土中附加应力的计算
• 基底附加压力要在地基中引起附加应力，从而导致地基土的变形，引起建筑物的沉降。 目前，地基中附加应力的计算方法是根据弹性理论建立起来的，即假定地基土是均匀、 连续、各向同性的半无限空间弹性体。但事实上并非如此，从微观结构上看，由于其 三相组成在性质方面的显著差异，决定了地基土是非均质体，也是非连续体；从宏观 结构上看，天然地基土通常是分层的，各层之间的性质往往差别很大，从而表现出土 的各向异性；试验结果表明，土的应力-应变关系也不是直线关系，而是非线性的，特 别是当应力较大时。尽管如此，大量的工程实践表明，当地基上作用的荷载不大，土 中塑性变形区很小时，土中的应力-应变关系可近似为直线关系，用弹性理论计算出来 的应力值与实测值差别不大，所以工程上还普遍采用弹性理论。
值可按下式计算，即
• 式中： • p——基底（平均）压力，kPa； • F——上部结构传至基础顶面的垂直荷载，kN； • G——基础自重与其台阶上的土重之和，一般取kN/m3计算，kN； • A——基础底面积，A=lb m2。
• 对于条形基础（l≥10b），则沿长度方向取1m来计算。此时上式中的、代表每延米内的 相应值，如上图c所示。
• 只有掌握了土中应力的计算方法和土中应力的分布规律，才能正确运用土力学的基 本原理和方法解决地基变形、土体稳定等问题。因此，研究土中应力分布及计算方 法是土力学的重要内容之一。
二、土中应力计算的方法
• 目前计算土中应力的方法，主要是采用弹性理论，也就是把地基土视为均质的、连 续的、各向同性的半无限空间线弹性体。事实上，土体是一种非均质的、各向异性 的多相分散体，是非理想弹性体，采用弹性理论计算土体中应力必然带来计算误差， 对于一般工程，其误差是工程所允许的。但对于许多复杂工程条件下的应力计算， 弹性理论是远远不够的，应采用其他更为符合实际的计算方法，如非线性力学理论、 数值计算方法等等。
和附加应力之和，称为总应力，即 总应力=自重应力+附加应力
§2 土中自重应力的计算
一、均质地基自重应力场
• 假设：（1）天然地表为无限大的水平面，即假定地基是半无限空间体，如下图所示。 （2）土质均匀，其重度为γ。在地面下深度z处，任取一单元体，其上的自重
应力 分量为：竖向自重应力σczτ；水平自重应力σcx=σcy；不存在着剪应力， 即τcxy=τcyx=0；τcyz=τczy=0;τczx=τcxz=0
三、土中一点的应力
• 在土中任取一单元体，如下图所示。 作用在单元体上的 3个法向应力（正 应力）分量分别为 ，六个剪应力分量 分别为。剪应力的 脚标前面一个表示 剪应力作用面的法 线方向，后一个表示剪应力的作用方向。
• 应特别注意的是，在土力学中法向应力以压应力为正，拉应力为负，这与一般固体 力学中的符号规定有所不同。剪应力的正负号规定是：以外法线与坐标轴方向一致 的面为正面，反之为负面；在正面上剪应力与坐标方向相反者为正，反之为负；在 负面上剪应力与坐标方向相同者为正，反之为负。
2．偏心荷载作用下的基底压力 （1）单向偏心荷载作用下的矩形基础
这是一个矩形基底，受偏向荷载（F＋ G）的作用，偏心距为e,如用一等代力 系代替，将（F＋G）移到中心，同时 应有一力距M=(F+G)e。此时，基底压 力分布应按左图所示，其最大值为pmax, 最小值为pmin。
• 根据材料力学公式有：
• 从上面的分析可以看出，自重应力包括三个应力分量，但对于地基自重应力场的分 析与计算，主要针对竖向自重应力。
土的种类与状态 碎石土
砂土
粉土 粉质粘土
粘土
坚硬状态 可塑状态 软塑及流塑状态 坚硬状态 可塑状态 软塑及流塑状态
Ko 0.18～0.25
0.25～0.33
0.33 0.33 0.43 0.53 0.33 0.53 0.72
• 最大压力用表示p`max ，根据静力平衡条件有：
• 在实际工程设计中，应尽量避免大偏心，此时基础难于满足抗倾覆稳定性的要求， 建筑物易倾倒，造成灾难性的后果。
(2）偏心荷载作用下的条形基础 • 对于条形基础（l≥10b），偏心荷载在基础宽度方向的基底压力计算，只需取l=1m
作为计算单元即可，即
§1 概 述
一、土中应力计算的目的
土中应力计算
• 建筑物、构筑物、车辆等的荷载，要通过基础或路基传递到土体上。在这些荷载及 其它作用力（如渗透力、地震力）等的作用下，土中产生应力。土中应力的增加将 引起土的变形，使建筑物发生下沉、倾斜以及水平位移；土的变形过大时，往往会 影响建筑物的安全和正常使用。此外，土中应力过大时，也会引起土体的剪切破坏， 使土体发生剪切滑动而失去稳定。为了使所设计的建筑物、构筑物既安全可靠又经 济合理，就必须研究土体的变形、强度、地基承载力、稳定性等问题，而不论研究 上述何种问题，都必须首先了解土中的应力分布状况。
• 从上面有分析可以看出，对于柔性基础在中心荷载作用下，基底压力一般均匀分布。 而对于刚性基础，基底压力一般不是均匀分布，但为便于计算，一般也简化成均匀 分布考虑。虽然不够精确，但这种误差也是工程所允许的。
二、基底压力简化计算法
1．中心荷载作用下的基底压力 • 对于中心荷载作用下的矩形基础，如下图a、b所示，此时基底压力均匀分布，其数
• z——计算点至地表的垂直深度。 • 若求线荷载作用下地基中某点的竖向附加应力，则先计算出αl值，再代入上式计算
出σz 。
• 二、空间问题基本解-Boussinesq解
• 在半无限空间弹性体的表面，作用一竖向集中力，如下图所示。