~
F(n1 1,
n2 1)
第六章
点估计：参数的估计值为一个常数
矩估计
最大似然估计
似然函数
n
L f (xi; ) i 1
n
L p(xi ; ) i 1
均值的区间估计——大样本结果
x z / 2

n
x — 样本均值 — 标准差(通常未知，可用样本标准差s代替) n — 样本容量(大样本要求n 50) z /2 — 正态分布的分位点


第五章 卡方分布
n
若X ~ N (0,1)，则 X i2 ~ 2 (n) i 1
若Y ~ N (, 2 ),
则 1
2
n i 1
Yi
2
~ 2 (n)
t 分布
Cov( X , X ) E( X 2 ) E( X )2 D( X )
Cov(X Y, Z) Cov(X , Z) Cov(Y, Z)

当 X、Y 相互独立时：
D(X Y ) D(X ) D(Y )
方差的性质 D(a)=0，其中 a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中 a、b 为常数 当 X、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数
EX E(X )Y E(Y ) E(XY ) E(X )E(Y )
比例——特殊的均值的 Z 检验
Z Z
, (n1)S 2 (n1)S 2
2 / 2
12 / 2
S 2 — 样本方差
Z
2 /2
— 卡方分布的分位点
p p0 p0 (1 p0 ) / n
p0 — —总体比例 p — —样本比例
正态总体方差的区间估计
单正态总体均值的 t 检验
x
F (x) P( X x) f (t)dt
F '(x) f (x)
二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法
联合密度函数 f (x, y) 联合分布函数 F(x, y)
f (x, y) 0

f (x, y)dxdy 1 0 F(x, y) 1
第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当 A、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
P(A | B) P( AB) P(B)
概率的乘法公式
P(AB) P(B)P(A | B) P(A)P(B | A)
全概率公式：从原因计算结果
n
P( A) P(Bk )P( A | Bk ) k 1
单个正态总体的显著性检验
单正态总体均值的检验
大样本情形——Z 检验
正态总体小样本、方差已知——Z 检验
正态总体小样本、方差未知—— t 检验
单正态总体方差的检验
正态总体、均值未知——卡方检验
单正态总体均值的显著性检验
统计假设的形式


p

z
/
2
p(1 p) n
两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知


x1 x2
z / 2

2 1
n1


2 2
n2

两个正态总体方差比的置信区间

F
/2
S12 / S22 (n1 1, n2
1)
,
F
/2
S12 / S22 (n1 1, n2
1)

第七章
t X 0 S/ n
单正态总体方差的卡方检验
2

(n
1)S 22 0拒Fra bibliotek域双边检验
2

2 / 2或 2

2 1 / 2
左边检验
2

2 1 / 2
右边检验
2

2 /2
数学期望 离散型随机变量，数学期望定义
连续型随机变量，数学期望定义

E(X ) xk Pk k

E( X ) x f (x)dx
E(a)=a，其中 a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y 为任意随机变量
单正态总体均值的 Z 检验
Z X 0 （大样本情形未知时用S代替） / n
小样本、正态总体、标准差未知
t /2 (n 1) —自由度为 n 1的t分布的分位点
拒绝域的代数表示
x t /2 (n 1)
s n
右边检验
Z Z /2 双边检验
左边检验
Z Z
E(X ) xi pij
ij
E(X ) xf (x, y)dxdy
正态分布
E(XY)
xi y j pij
ij
E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(XY) xyf (x, y)dxdy
当X与Y独立时, E(XY ) E(X )E(Y )
Cov(X ,Y ) E(XY) E(X )E(Y )
XY
Cov(X ,Y ) D(X )D(Y )
协方差的性质
一般正态分布的概率计算公式
P(X a) P(X a) (a )
P(X a) P(X a) 1 (a )
P(a X b) (b ) (a )
p — 样本比例
n — 样本容量(大样本要求n 50)
z /2 — 正态分布的分位点
小样本、正态总体、标准差已知
x z /2
n
(1) H0 : 0 H1 : 0 双边检验 (2) H0 : 0 H1 : 0 左边检验
(3) H0 : 0 H1 : 0 右边检验
P(Z a) P(Z a) 1 (a)
P(a Z b) (b) (a)
P(a Z a) (a) (a) 2(a) 1
一般正态分布的概率计算
常用公式
X ~ N (, 2 ) Z X ~ N (0,1)
D(X Y ) D(X ) D(Y ) 2E{(X E(X ))(Y E(Y ))}
则 U / n1 V / n2
~
F (n1, n2 )
体条件下
样本均值的分布：
X ~ N(,
2 )
n
分布：
X ~ N (0,1)
/ n
样本方差的
(n 1)S 2 2
~
2 (n 1)
X ~ t(n 1) s/ n
两个正态总体的方差之比
S12 12
/ S22
/

2 2
方差 定义式
D(X )

x

E(X
)2

f
(x)dx

常用计算式 D( X ) E( X 2 ) E( X ) 2
fx
x
e
E(X ) , D(X ) 2 标准正态分布的概率计算 (a) 1 (a)
标准正态分布的概率计算公式
P(Z a) P(Z a) (a)
f (x) 1 (a x b) ba
指数分布 X~Exp (θ )
随机变量 g(X)的数学期望 常用公式
E(g( X )) g(xk ) pk
k
f (x) 1 ex/
分布函数 对离散型随机变量
(x 0)
F(x) P(X x) P(X k) kx
独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章
X ~ N(, 2)
若X ~ N (0,1), Y ~ 2 (n), 则 X ~ t(n) Y /n
Cov(aX ,bY) abCov(X ,Y )
F 分布 正态总
若U ~ 2 (n1),
V ~ 2 (n2 ),
F(x, y) P{X x,Y y}
联合密度与边缘密度

fX (x) f (x, y)dy

fY (y)
f (x, y)dx

P(X k) Cnk pk (1 p)nk， (k 0,1,..., n)
泊松分布——X~P(λ )
P( X k) k e， (k 0,1,...) k!
假设检验的步骤
① 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H1
② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值
③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则
拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
不可避免的两类错误
第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设
第 2 类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设
概率密度函数

f (x)dx 1
怎样计算概率 P(a X b)
b
P(a X b) a f (x)dx
均匀分布 X~U(a,b)
离散型随机变量的独立性
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j}
连续型随机变量的独立性
f (x, y) f X (x) fY ( y) 第三章
Bayes 公式：从结果找原因
P(Bk | A)
P(Bi )P( A | Bi )
n
P(Bk )P( A | Bk )
k 1
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)