解 : 设待求直线方向向量为 S,
n S2 M2 A 2 1 1 3i 3 j 3k
1 2 1
26
i
j
k
待求直线的方向向量
3 3 3 x 1 y 2 z 1 直 线 方 程 3 2 5
S S1 n
2 13 3 交点 N ( , , ) 7 7 7
取所求直线的方向向量为 MN
2 13 3 12 6 24 MN { 2, 1, 3} { , , }, 7 7 7 7 7 7
所求直线方程为
x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
17
四、直线与平面的夹角
i 3
j 2
k 1
3i 2 j 5k
B( x0 , y0 , z0 ), 另 解: 设交点
即 x0 2 y0 , z0 y0
x0 z0 y0 2 1
27
而待求直线上 AB { x0 1, y0 2, z0 1} L1
23
x y 1 z 2 且垂直 例10已知平面过直线 3 1 4 于平面 : 2 x y 5z 5 0, 求其方程 .
解 : 直线可写成一般式方程
x y 1 3 1 x z2 4 3
即
x 3 y 3 0 4 x 3z 6 0
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) ( z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
x 1 y 1 z 令 t 3 2 1
x 3t 1 y 2t 1. z t
16
3 代入平面方程得 t , 7
解 : M0 (3,2,5)
s n1 n2 1 0 4 {4,3,1} 2 1 5
x 3 y 2 z 5 直 线 方 程 4 3 1
11
i
j
k
x 1 y 2 z 3 例5 求 直 线 和平面 1 1 2 2 x y z 5 0的 交 点 . x 1 t
3( x0 1) 2( y0 2) ( z0 1) 0
将x0 2 y0 , z0 y0代入
6
, 例1 设P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 )是空间两点 求过P . 1P 2的直线方程
解 : 取M0 P1 ,
S P1 P2 { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 }
由对 称式 x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
cos( L^ ,L )
1 2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
两直线的夹角公式
13
2
2
2
2
2
2
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0,
m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
例如， 直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 直线 L2 : s {0,0,1}, 2 s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
14
x 1 y z 3 例6 设L1 : 1 4 1 x y2 z L2 : 2 2 1 求两直线的夹角 .
作 平 面 束 ( x 3 y 3) (4 x 3z 6) 0
(1 4 ) x 3 y 3z (3 6 ) 0
24
待求平面与 垂直 (1 4 ) 2 3 (1) (3 ) 5 0
平 面 方 程
而M0 M { x x0 , y y0 , z z0 }
3
x x 0 y y0 z z 0 m n p
s {m, n, p}为L的方向向量 ,
m、n、p为直线的方向数。
x x 0 y y0 x x 0 y y0 z z 0 n (1) m m n 0 z z0
解 : 直线的参数方程 y 2 t z 3 2t
代入平面方程得
2(1 t ) (2 t ) (3 2t ) 5 0
t 4
交 点 ( 3,6,5)
12
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
x x1 y y1 z z1 直线 L1 : , m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 直线 L2 : , m2 n2 p2
1 7
x 7y z 5 0
25
x 1 y z 1 例11 一 直 线 过 点 A(1,2,1)且 垂 直 直 线 L1 : 3 2 1 x z 又和直线 L2 : y 相 交, 求 该 直 线 方 程 . 2 1
则S S1且S又垂直于过 A点L2及的平面的法线 n, 先求过 A点及L2的平面的法向量 n, 任取L2上一点 M2 (0,0,0) M2 A {1,2,1}
则L的方向向量 i S n1 n2 A1
j B1 B2
k C1 C2
5
A2
2、参数式方程
令
x x 0 y y0 z z 0 m n p
t
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
直线的参数方程
9
例 3 一直线过点 A( 2,3,4) ，且和 y 轴垂直相 交，求其方程.
解
因为直线和y 轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA {2, 0, 4},
x2 y3 z4 所求直线方程 . 2 0 4
10
(3,2,5)且与两平面 x 4z 3和 例4 求过点 2 x y 5z 1的交线平行的直线方程 .
19
x 1 y z 1 例 8 设直线L : ，平面 2 1 2 : x y 2 z 3 ，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
| Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角． 0 . 2
x x0 y y0 z z 0 L: , m n p : Ax By Cz D 0,
s {m , n, p}, n { A, B , C },
^ ( s , n) 2
7 | 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 | . 3 6 6 9
arcsin 7 3 6
为所求夹角．
20
五 平面束
设L :
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0 (1) ( 2)
^ ( s , n) 2
18
sin cos cos . 2 2
sin
| Am Bn Cp | 2 2 2 Байду номын сангаас 2 2 A B C m n p
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
A B C . (1) L m n p ( 2) L // Am Bn Cp 0.
(1 ) x (1 ) y (1 )z (1 ) 0
要使与 垂 直 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 0
1
22
投影平面方程
2 y 2z 2 0
投影直线方程
y z 1 0 x y z 0
4
称为直线的对称式方程(标准式)
说 明:
x x 0 y y0 z z 0 x x0 0 0 p y y0
A1 x B1 y C1 z D1 0 ( 2)若L A2 x B2 y C 2 z D2 0
( x0 , y0 )
解得 y0 0,
z0 2
点坐标 (1,0,2),
8
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 1
i
j
k
1 1 {4,1,3}, 2 1 3
x 1 y 0 z 2 对称式方程 , 4 1 3
x 1 4t . 参数方程 y t z 2 3 t
称(3)为通过 L的平面束方程 .
21
x y z 1 0 例9 求直 线L : x y z 1 0在平 面 : x y z 0 上的 投影 直线方 程
为 解 : 设过直线的平面束方程 ( x y z 1) ( x y z 1) 0
1、对称式方程
直线的方向向量： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
z
s
M0
L
M
设M0 ( x0 , y0 , z0 )为L上一点 , o y s {m, n, p}为L的方向向量 , x 求L的直线方程 . 任取L上一点 M ( x, y, z ), 则M 0 M // s
解 : cos
1 2 ( 4) ( 2) 1 ( 1) 12 ( 4) 2 12
2 2 2 2 2 ( 2) ( 1) 2