专题四三角函数与解三角形第十一讲三角函数的综合应用答案部分2019 年1.解析解法一：（1）过A作AE ⊥BD ，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形， DE =BE =AC = 6, AE =CD = 8 .'因为PB⊥AB，8 4所以cos ∠PBD = sin ∠ABE ==.10 5所以 PB =BDcos ∠PBD=12= 15 .45因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知 AD =AD2 +AB2 -BD27 =10 ，从而cos ∠BAD ==> 0 ，所以∠BAD为锐角.2AD ⋅AB 25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小AE2 +ED2152 - 62 21 (-13 + 4)2 + (9 + 3)234于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 1 为l 上一点，且 P 1B ⊥ AB ，由（1）知，P 1 B =15，此时 P 1D = P 1B sin ∠P 1BD = P 1B cos∠EBA = 15⨯ 5= 9 ；当∠OBP >90°时，在△PP 1B 中， PB > P 1B =15 . 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ = = = 3 .此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ = 3 时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+ 3 21 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+ 3 21 （百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 3 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为 .4因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为- ， 3直线PB 的方程为 y = - 4 x - 25 .3 3所以P （−13，9）， PB = = 15 .QA 2 - AC 2 2132 + 42 21 21 21 21 21 21 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），3所以线段AD ： y = - 4x + 6(-4剟x154) .在线段AD 上取点M （3， 4 ），因为OM = < 5 ，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设 P 1 为l 上一点，且 P 1B ⊥ AB ，由（1）知， P 1 B =15，此时 P 1 （−13，9）；当∠OBP >90°时，在△PP 1B 中， PB > P 1B = 15 . 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由 AQ = = 15(a > 4) ，得a = 4 + 3 ，所以Q （4 + 3 ，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4 + 3 ，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ = 4 + 3 - (-13) = 17 + 3 .因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17 + 3 （百米）32 + ⎛ 15 ⎫2 ⎝ 4 ⎭⎪ (a - 4)2 + (9 - 3)2m 2 +1 m 2 +1| m 2 +1( m m 2 +1 m 2+1m 2+1 sin θ - 1cos θ ) + 2 | m 2+1m 2+1| 2 - m 2 +1 | m 2 +1 2 + m 2 +1 m 2 +1 21．C 【解析】由题意可得d =2010-2018 年== =（其中cos ϕ =， sin ϕ =），∵ -1≤ sin(θ - ϕ) ≤1 ,∴ ≤ d ≤ ， = 1+ 2 ， m 2 +1∴当m = 0 时， d 取得最大值 3，故选 C ． 2．B 【解析】由于 f ( x ) = sin 2x + b sin x + c =1 - cos 2x + b sin x + c ．2当b = 0 时， f (x ) 的最小正周期为π ； 当b ≠ 0 时， f (x ) 的最小正周期2π ；c 的变化会引起 f ( x ) 的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选 B ．注：在函数 f ( x ) = h ( x ) + g ( x ) 中， f ( x ) 的最小正周期是h ( x ) 和 g ( x ) 的最小正周期的公倍数．3．C 【解析】由图象知： y min = 2 ，因为 y min = -3 + k ，所以-3 + k = 2 ，解得： k = 5 ，所以这段时间水深的最大值是 y max = 3 + k = 3 + 5 = 8 ，故选 C ． 4．D 【解析】对于 A ，当 x = π 或5π时， sin 2x 均为 1，而sin x 与 x 2+ x 此时均有两个44值，故 A 、B 错误；对于 C ，当 x =1或 x = -1 时， x 2+1 = 2 ，而| x +1| 由两个值，故 C 错误，选 D ．π π π5．B 【解析】由于 f (0) = 2, f ( ) =1+ 5, f ( ) = 2 < f ( ) ，故排除选项 C 、D ；当4 2 4点 P 在 BC 上时，f (x ) = BP + AP = tan x +的图象是非线性，排除 A ．4 + tan 2x (0 ≤ x ≤ π ) ．不难发现 f (x ) 4| m 2 +1 m 2 +1m 2+1 m 2 +13 3 2 3 3 1π π ba 3 sin(x -ϕ)dx = - cos(x -ϕ) | 3 =cos ϕ - 16．C 【解析】由题意知，f (x ) =| cos x | ⋅sin x ，当π x ∈[0, π ] 21 时，f (x ) = sin x cos x = 1 sin 2x ；2 当 x ∈ ( ,π ] 时， f (x ) = - cos x sin x = - 2 sin 2x ，故选 C ．22π2π⎰0 02 2得 tan ϕ = ，所以ϕ = π + k π (k ∈ Z ) ，所以 f (x ) = sin(x - π- k π )(k ∈ Z ) ，3 3π π由正弦函数的性质知 y = sin(x - - k π ) 与 y = sin(x - 3) 的图象的对称轴相同，3 令 x - π = k π + π ，则 x = k π + 5π (k ∈ Z ) ，所以函数 f (x ) 的图象的对称轴为3 2 6 x = k π + 5π (k ∈ Z ) ，当k = 0 ，得 x = 5π，选 A ．6 8． 1【解析】2cos 2 x + sin 2x = 62 sin(2x + π) +1 ，所以 A = 42,b = 1.9．7【解析】画出函数图象草图，共 7 个交点．10． 1 【解析】∵ a ∥ b ，∴ sin 2θ = cos2θ ，∴ 2 sin θ cos θ = cos 2 θ ，∵θ ∈ 2∴ tan θ = ．2(0, π) ，211．（1）3；（2） 【解析】（1） y = f '(x ) = ω cos(ω x + ϕ) ，当ϕ = ，点 P 的坐标为（0，46）时ω cos π = ,∴ω = 3 ；2 6 22π（2）曲线 y = f '(x ) = ω cos(ω x + ϕ) 的半周期为 π，由图知 AC = T = ω = π，ω2 2 ω S V ABC= 1 AC ⋅ω = π，设 A , B 的横坐标分别为a , b ．设曲线段¼ABC 与 x 轴所围成的 2 2区域的面积为 S 则 S =⎰af '(x )dx = f (x ) b= sin(ωa + ϕ) - sin(ωb + ϕ) = 2 ， y 1xO-13 3 7．A 【解析】由 sin ϕ + cos ϕ = 0 ，DC KθE O Hπ由几何概型知该点在△ABC 内的概率为 P =S V ABC = 2 = π． S 2 412．【解析】(1)连结 PO 并延长交 MN 于 H ，则 PH ⊥ MN ，所以OH =10．PGM AB N过O 作OE ⊥ BC 于 E ，则OE ∥ MN ，所以∠COE = θ ， 故OE = 40 cos θ ， EC = 40 sin θ ，则矩形 ABCD 的面积为2 ⨯ 40 cos θ (40 sin θ +10) = 800(4 sin θ cos θ + cos θ ) ，∆CDP 的面积为 1⨯ 2⨯ 40 cos θ (40 - 40sin θ ) = 1600(cos θ - sin θ cos θ ) ．2过 N 作GN ⊥ MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和 K ，则GK = KN = 10 ．令∠GOK = θ，则sin θ = 1 ，θ ∈ π．4(0, 6 )当θ ∈[θ , π) 0 2 时，才能作出满足条件的矩形 ABCD ，所以sin θ 的取值范围是[ 1,1) ．4答：矩形 ABCD 的面积为800(4 sin θ cos θ + cos θ ) 平方米， ∆CDP 的面积为1600(cos θ - sin θ cos θ ) ， sin θ 的取值范围是[ 1,1) ．4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k > 0) ，则年总产值为4k ⨯800(4 sin θ cos θ + cos θ ) + 3k ⨯1600(cos θ - sin θ cos θ )= 8000k (sin θ cos θ + cos θ ) ，θ ∈[θ , π ) ． 0 2 设 f (θ ) = sin θ cos θ + cos θ ，θ ∈[θ , π ) ， 0 2则 f '(θ ) = cos 2 θ - sin 2 θ - sin θ = -(2 s in 2θ + sin θ -1) = -(2 s in θ -1)(sin θ +1) ．令 f '(θ ) = 0 ，得θ = π，6π 当θ ∈(θ , π ) 0 6时， f ′(θ )>0 ，所以 f (θ ) 为增函数； 当θ ∈ (π , π ) 6 2时， f ′(θ )<0 ，所以 f (θ ) 为减函数， 因此，当θ = π时， f (θ ) 取到最大值．6 答：当θ = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 613．【解析】（1）由正棱柱的定义， CC 1 ⊥ 平面 ABCD ，所以平面 A 1 ACC 1 ⊥ 平面 ABCD ， CC 1 ⊥ AC ． 记玻璃棒的另一端落在CC 1 上点 M 处．因为 AC = 10所以 MN = ， AM = 40 ．= 30 ，从而sin ∠MAC = 3． 4记 AM 与水平的交点为 P 1 ，过 P 1 作 P 1Q 1 ⊥ AC ，Q 1 为垂足，则 P 1Q 1 ⊥ 平面 ABCD ，故 P 1Q 1 =12 ，从而 AP 1 = P 1Q 1 sin ∠MAC= 16 ．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为 16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)7 402- (10 7 )2π 3 （2）如图， O ， O 1 是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义， OO 1 ⊥平面 EFGH ， 所以平面 E 1EGG 1 ⊥平面 EFGH ， OO 1 ⊥ EG .同理，平面 E 1EGG 1 ⊥平面 E 1F 1G 1H 1 ， OO 1 ⊥ E 1G 1 .记玻璃棒的另一端落在GG 1 上点 N 处.过G 作GK ⊥ E 1G 1 ， K 为垂足， 则GK = OO 1 =32.因为 EG = 14，E 1G 1 = 62， 所以 KG =62 -14= 24 ，从而GG === 40 . 1 2 1设∠EGG = α ,∠ENG = β , 则sinα = sin( +∠KGG ) = cos ∠KGG = 4. 1 2 因为 < α < π ，所以cos α =- . 1 1 52 540 在△ENG 中，由正弦定理可得 sin α 因为0 < β < π ，所以cos β = 24.14sin β，解得sin β =7 . 25 2 25于是sin ∠NEG = sin(π - α - β ) = sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β= 4 ⨯ 24 + (- 3) ⨯ 7 = 3 . 5 25 5 25 5记 EN 与水面的交点为 P 2 ，过 P 2 作 P 2Q 2 ⊥ EG ，Q 2 为垂足，则 P 2Q 2 ⊥平面 EFGH ，故 PQ =12，从而 EP =P 2Q 2= 20 .2 22sin ∠NEG答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为 20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)1+ cos(2x + π)14．【解析】（Ⅰ）由题意 f (x ) = 1 sin 2x - 2 = 1 sin 2x - 1 + 1 sin 2x 2 2 = sin 2x - 1 ．2π π π2 2 2π 由 - + 2k π ≤ 2x ≤ 2 + 2k π ( k ∈ Z )，可得- 2 + k π ≤ x ≤ 4 + k π ( k ∈ Z )；4=2 - 32 +3 2 + 3 3 由 π+ 2k π ≤ 2x ≤3π 2 2+ 2k π ( k ∈ Z )，得 π 4 + k π ≤ x ≤ 3π4 + k π ( k ∈ Z )； 所以 f (x ) 的单调递增区间是[- π4 + k π , π 4+ k π ] （ k ∈ Z ）；单调递减区间是[π 4 A + k π , 3π4 1 + k π ] （ k ∈ Z ）．1（Ⅱ）Q f ( ) = sin A - = 0 ，∴sin A = ，2 2 2由题意 A 是锐角，所以 cos A =3 ．2由余弦定理： a 2 = b 2 + c 2- 2bc cos A ，可得1+ 3bc = b 2 + c 2≥ 2bc∴bc ≤1= 2 + ，且当b = c 时成立．∴bc sin A ≤ ．∴∆ABC 面积最大值为 ．4 4π 1 π π π 15．【解析】（Ⅰ）因为 f (t ) -10 - 2( cos t + sin t ) -10 - 2sin( t + ) ，2 12 2 12 12 3又0 ≤ t < 24 ，所以 π ≤ π t + π < 7π ， -1 ≤ sin( π t + π) ≤ 1 ，3 12 3 3 π π 12 3 π π当t = 2 时， sin( t + 12 ) = 1；当t = 14 时， sin( t + 3 12 ) = -1 ；3于是 f (t ) 在[0,24) 上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为12︒C ，最低温度为8︒C ，最大温差为4︒C （Ⅱ）依题意，当 f (t ) > 11时实验室需要降温. 由（Ⅰ）得 f (t ) = 10 - 2 sin(π 12t + π) ，3所以10 - 2 sin( π t + π) > 11 ，即sin( π t + π ) < - 1，12312 3 2又0 ≤ t < 24 ，因此7π6< π t + π 123<11π，即10 < t < 18，6故在 10 时至 18 时实验室需要降温.16．【解析】（1）Q a ，b ，c 成等差数列，∴ a + c = 2b 由正弦定理得sin A + sin C = 2 sin B32 2 ∴ ≥ = ∴ - ≥ - = = π Q sin B = sin[π - ( A + C )] = sin( A + C )∴sin A + sin C = 2 sin ( A + C )（2）Q a ，b ，c 成等比数列，∴b 2= 2aca 2 + c 2 -b 2a 2 + c 2 - ac 2ac - ac 1 由余弦定理得cos B == = =2ac 2ac 2ac 2Q a 2 + c 2 ≥ 2ac （当且仅当a = c 时等号成立）a 2 + c 21（当且仅当a c 时等号成立）2aca 2 + c 2 1 1 11 （当且仅当a c 时等号成立）2ac 2 2 21 1即cos B ≥ ，所以cos B 的最小值为2 217．【解析】（Ⅰ）由函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ) 的周期为π ， ω > 0 ，得ω = 2又曲线 y =f (x ) 的一个对称中心为( , 0) ， ϕ ∈ (0,π ) 4故 f (π ) = sin(2 ⨯ π + ϕ) = 0 ，得ϕ = π，所以 f (x ) = cos 2x4 4 2将函数 f (x ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）后可得 y = cos x 的图象，再将 y = cos x 的图象向右平移 π个单位长度后得到函数 g (x ) = sin x2π π 1（Ⅱ）当 x ∈ ( , ) 时， < sin x < ，0 < cos 2x < 1 ， 6 4222所以sin x > cos 2x > sin x cos 2x ．问题转化为方程2 c os 2x = sin x + sin x cos 2x 在π π( , ) 内是否有解 6 4设G (x ) = sin x + sin x cos 2x - 2 cos 2x ， x ∈ (π , π)6 4则G '(x ) = cos x + cos x cos 2x + 2 sin 2x (2 - sin x )因为 x ∈π (π , π ) 6 41，所以G '(x ) > 0 ， G (x ) 在π π π ( , ) 内单调递增 6 4 又G ( ) = - < 0 ， G ( ) = > 06 4 4 2cos 2x 且函数G (x ) 的图象连续不断，故可知函数G (x ) 在π π 内存在唯一零点 x ，π π即存在唯一的 x 0 ∈ ( 6 , 4) 满足题意．( , ) 06 4（Ⅲ）依题意， F (x ) = a sin x + cos 2x ，令 F (x ) = a sin x + cos 2x = 0当sin x = 0，即 x = k π (k ∈ Z ) 时，cos 2x = 1，从而 x = k π (k ∈ Z ) 不是方程 F (x ) = 0的解，所以方程 F (x ) = 0 等价于关于 x 的方程a =- ，x ≠ k π (k ∈ Z )sin x现研究 x ∈ (0,π ) U(π , 2π ) 时方程解的情况 令 h (x ) =-cos 2x ， x ∈ (0,π ) U(π , 2π )sin x则问题转化为研究直线 y = a 与曲线 y = h (x ) 在 x ∈ (0,π ) U(π , 2π ) 的交点情况' cos x (2sin 2 x +1)'π 3πh (x ) =，令h (x ) = 0 ，得 x = 或 x = ．sin 2 x2 2当 x 变化时， h (x ) 和h '(x ) 变化情况如下表当 x > 0 且 x 趋近于0 时， h (x ) 趋向于-∞ 当 x < π 且 x 趋近于π 时， h (x ) 趋向于-∞ 当 x > π 且 x 趋近于π 时， h (x ) 趋向于+∞ 当 x < 2π 且 x 趋近于2π 时， h (x ) 趋向于+∞故当a >1时，直线 y = a 与曲线 y = h (x ) 在(0,π ) 内有无交点，在(π , 2π ) 内有2 个交点；当a < -1时，直线 y = a 与曲线 y = h (x ) 在(0,π ) 内有2 个交点，在(π , 2π ) 内无交点；当-1 < a < 1时，直线 y = a 与曲线 y = h (x ) 在(0,π ) 内有2 个交点，在(π ,2π )内有2 个交点由函数h(x) 的周期性，可知当a ≠±1时，直线y =a 与曲线y =h(x) 在(0, nπ) 内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y =a 与曲线y =h(x) 在(0, nπ)内恰有2013 个交点；当a =±1 时，直线y =a 与曲线y =h(x) 在(0,π) U (π, 2π) 内有3 个交点，由周期性， 2013 = 3⨯671，所以n = 671⨯ 2 =1342 综上，当a =±1，n = 1342 时，函数F (x) = f (x) +ag(x) 在(0, nπ) 内恰有2013 个零点。