向量公式
设a= (x, y), b=(x' , y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则
AB+BC=AC
a+b=（x+x' ，y+y'）。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a
结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”
a=（x,y） b=（x',y'）则a-b=（x-x',y-y'）.
4、数乘向量
实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a，且I入a l =1X1 ? I a l。
当入〉0时，入a与a同方向；
当XV 0时，入a与a反方向；
当入=0时，X a=0,方向任意。
当a=0时，对于任意实数X,都有X a=0。
注：按定义知，如果X a=0，那么X =0或a=0。
实数X叫做向量a的系数，乘数向量X a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当IXI> 1时，表示向量a的有向线段在原方向（X> 0）或反方向（XV 0）上伸长为原来的IXI倍；
当IXI V 1时，表示向量a的有向线段在原方向（X> 0）或反方向（XV 0）上缩
短为原来的IXI倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：（X a）?b= X （a ?b）=（a ?X b）。
向量对于数的分配律（第一分配律）：（X +卩）a= X a+卩a.
数对于向量的分配律（第二分配律）：X （a+b）= X a+X b.
数乘向量的消去律：① 如果实数入工0且X a=X b，那么a=b。
②如果a^0 .且X a=（1 a，那么X =卩。
3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0W〈a,b〉Wn
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b。
若a、b不共线，贝U a?b=|a| ?|b| ?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+- I a ll b l。
向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y ?y'。
向量的数量积的运算律
a ?b=b?a (交换律)；
(入a) ?b= X (a?b)(关于数乘法的结合律)；
(a+b)?c=a?c+b?c (分配律)；
向量的数量积的性质
a ?a=|a|的平方。
a _L
b 〈=〉a?b=0o
|a ?b| < |a| ?|b| 。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c M a?(b ?c);例如：(a ?b)A2工
a A2?
b A2o
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a工0)，推不出b=c。
3、|a?b| 工|a| ?|b|
4、由|a|=|b| ，推不出a=b 或a=-b。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a x b。
若a、b 不共线，则a x b 的模是：I a x b I =|a| ?|b| ?sin〈 a，b> ；a x b 的方向是：垂直于a和b，且a、b和a x b按这个次序构成右手系。
若a、b共线，则a x b=0o 向量的向量积性质：
I a x b I是以a和b为边的平行四边形面积。
a x a=0o
a II
b < => a x b=0。
向量的向量积运算律
a x b=-
b x a；
(X a)x b=X(a x b) =a x(X b)；
(a+b)x c=a x c+b x c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、II a I - I b II<I a+b I <I a I + I b I；
①当且仅当a、b反向时，左边取等号；
②当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、II a I - I b II<I a-b I <I a I + I b I。
①当且仅当a、b同向时，左边取等号；
②当且仅当a、b反向时，右边取等号。
定比分点
定比分点公式（向量P1P= ?向量PP2
设P1、P2是直线上的两点，P是I上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数入，使向量P1P=X ?向量PP2入叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1 （x1,y1）, P2（x2,y2）, P（x,y），则有
0P=（0P1 +入OP2）（1+入）;（定比分点向量公式）
x=（x1+ 入x2）/（1+ 入）,
y=（y1+入y2）/（1+入）。
（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若0C2 0A +卩0B ,且入+卩=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在厶ABC中，若GA +GB +GC=0W ABC的重心
［编辑本段］向量共线的重要条件
若b M0,则a//b的重要条件是存在唯一实数入，使a=X b。
a//b 的重要条件是xy'-x'y=0 。
零向量0平行于任何向量。
［编辑本段］向量垂直的充要条件
a丄b的充要条件是a?b=0。
a丄b的充要条件是xx'+yy'=0 。
零向量0垂直于任何向量.。