记为
中心极限定理
Xn L X
定义5.2.2（中心极限定理）设随机变量
{ Xk}，k = 1,2,…相互独立，有有限数学期
望和方差.若随机变量序列
n
n
Xk E(Xk )
标准化
Yn k1
k 1 n
D( Xk )
k 1
对y∈R一致地有
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中心极限定理
1
y 1t2
lim
n
P{Yn
y}
np(1 p) np(1 p)
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中心极限定理
Φ
m2 np np(1 p)
Φ
m1 np np(1 p)
航船的稳定性
产品抽检件数
中心极限定理 应用实例
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中心极限定理
例5.2.1 随机游动(高尔顿钉板试验) 将一个小球投入无限大高尔顿钉板内,小球 各以 12的概率向左或向右移动一格.
1/2 n 1/2 n 1/2 n
因为
n
Xi
i 1
n 2
近似服从N ( 0, 1 )分布，
1/2 n
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中心极限定理
所以0.99 P{
0.01n
n
Xi
i 1
n 2
0.01n }
1/2 n 1/2 n 1/2 n
2Φ(0.02 n) 1
Φ(0.02 n) 0.995
0.02 n 2.58
n
n
X k E( X k ) L
k 1
k 1
X ~ N (0,1)
n
D( Xk )
as n
k 1
故当n 足够大时，可以认为
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n
n
Xk E(Xk )
k 1
k 1
~ N (0,1)
nD( Xk )源自k 1近似成立，或
n
n
n
X k ~ N E( X k ), D( X k )
有
fn( A)
1 n
n
Xi
i 1
,由题意可得
0.99 P{| fn ( A) P( A) | 0.01}
P
1 2
0.01
1 n
i
n 1
X
i
1 2
0.01
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P
n 2
0.01n
n
Xi
i 1
n 2
0.01n
P{
0.01n
n
Xi
i 1
n 2
0.01n }
中心极限定理
二. 中心极限定理 定理5.2.1（林德伯格—列维定理或 独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分布
的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2, 则
{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k 1
Xk
nm
x
Φ( x)
解得 n ≥ 16,641 (次)
(250,000次)
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中心极限定理
例5.2.3 一生产线生产的产品成箱包装，每 箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克， 标准差为5千克. 若用最大载重量为5吨的汽车 装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可 以装多少箱，才能保障不超载的概率大于
0.977.
n
ns
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中心极限定理
高尔顿钉板试验
重复试验次数估计
装车问题
报亭售报问题
定理5.2.2（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）
设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ，n =1,2…， 对于任意的实数 x ，有
lim P n
Yn np np(1 p)
x
Φ( x)
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证明 对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示
为
Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn
其中Xi ~ B( 1, p )，相互独立，并且 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1－p)
相互独立同分布的随机变量序列{ Xi }, i =1,2,… 满足中心极限定理. 即有
lim P n
k 1
k1
k 1
近似成立.
许多相互独立的微小 因素Xk的叠加总和.
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注3 给出了概率的近似计算公式.
若随机变量序列{Xk }，k = 1,2,…服从中心 极限定理，则有
n
n
P
x1
k 1
Xk E(Xk )
k 1
n
D( Xk )
k 1
x2
( x2 ) ( x1)
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解 有P( A )=1/2，令
1, 第i次出现正面;
Xi 0,
否则,
(i 1,2, n)
则随机变量序列{ Xi }，i = 1,2,…是相互独立 且同分布的. 而且有
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E(Xi
)
1 2
,
D(
X
i
)
1 4
,
i 1,2,
所以随机变量序列{ Xi }，满足独立同分布 中心极限定律.
2
e 2 dt ( y)
称随机变量序列 {Xk}服从中心极限定理.
注1 随机变量序列 {Xk}服从中心极限定理，
指其前n项和
n
X k的标准化随机变量
k 1
依分布收敛于标准正态分布随机变量X；
注2 解释了现实中哪些随机变量可看服从正 态分布；
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若随机变量序列{Xk }，k = 1,2,…服从中心 极限定理，有
Yn np np(1 p)
x
电子科技大学
中心极限定理
n
n
lim
n
P
X
k 1
k E(X
k 1
n
D( Xk )
k 1
k
)
x
Φ( x)
结论成立.
若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有
P{m1 X m2}
P
m1 np
np(1 p)
标准化
X np
m2 np
D[Yn )] D( Xk ) n, k 1
由林德伯格—列维定理有
P{ Yn y} ( y) as n
n
即Yn*
Yn n
, n 1,2,
正态分布随机变量.
依分布收敛于标准
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例5.2.2 将一枚均匀硬币连续抛 n 次，试用 中心极定理来估计 n ，使下式成立.
P{| fn ( A) P( A) | 0.01} 0.99 其中 A ={ 出现正面 }
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中心极限定理
令
Xk
1, 在第k层向右位移一格;
1，
在第k层向左位移一格.
有
Xk
－1 1
P{Xk=i}
1/2 1/2
{Xk, k∈N+} 是相互独立同分布随机变量
序列，令
n
Yn X k , k0
小球在第n 次碰 撞后所处位置
试验演示
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均值为
方差为
中心极限定理
n
E[Yn ] E[ Xn ] 0, k 1 n
解 设Xi ，i=1,2,…,n 是装运的第i 箱重量
(单位:千克), n是所求箱数.
n 箱的总重量为
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Tn X1 X2 Xn
E( Xi ) 50, D( Xi ) 5, E(Tn ) 50n, D(Tn ) 5 n, (单位:千克)