* (k )
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
f 1 ( x ) x 1 f ( x ) n x 1
f 1 ( x ) x 2 f n ( x ) x 2
f1 ( x ) x n f n ( x ) x n
称为F 在x处的Jacobi矩阵。
证明：由于F ( x ) f1 ( x ), f 2 )( x,
的序列 x ( k ) D0收敛于函数G ( x )在区域D0内存在唯一的不动点x * ;
k L (2) 成立误差估计式 x* x ( k ) x (1) x (0) 1 L L * (k ) x x x ( k ) x ( k 1) 1 L

(4.2.8)
(4.2.9)
, f n ( x ) ,所以，存在 定理
T
向量li ( x ) R n ,使极限 f i ( x h) - f ( x ) - li ( x )T h lim 0 hθ h
i 1,2,
2证 , n明
成立，与存在矩阵A( x ) Rnn ,使(4.2.4)式成立是等价的， T T T T 并且A( x ) l1 ( x ) , l2 ( x ) , , ln ( x ) ,即 f i ( x )(i 1,2, , n)在x处可微是F ( x )在x处可微的充分必

0, j 1,2,
,n
f ( x e j ) f ( x) f ( x ) 从而 lim l j ( x ), j 1,2, 0 x j
,n
存在，且有
f f f ( x ) l ( x ) , , x1 x2
f , xn
*
k
k
x * y* G ( x * ) G ( y * ) L x * y * x * y*
这表明，x*是F ( x ) 0在D0内的是唯一解。 k L * (k ) (2) 在(4.2.10)中，让m , 得 x x x (1) x (0) 1 L m m x ( k m ) x ( k ) x ( k i ) x ( k i 1) Li x ( k ) x ( k 1)
成立，则称序列 xk 收敛于 x* 具有 r 阶速度，简称
xk 是 r 阶收敛的，c是它的收敛因子。
当 r =1时，称序列 xk 是线性收敛的，此时必有0 c 1； 当r >1时，称序列 xk 是超线性收敛的； 当r =2时，称序列 xk 是平方收敛的；
§4.2.2 简单迭代法
(4.2.1)
其中，f i ( i 1,2,
, n)是定义在区域D R n上的n元实
值函数，且f i中至少有一个是非性性函数。
令 x x1 , x2 ,
, xn , F ( x ) f1 ( x ), f 2 ( x ),
T
, fn ( x ) ，
T
则方程组可表示为
F ( x)
( k m )
(k )
m
m
k i 1
(1)
(0)
i 1
i 1
k
m
k
(1)
(0)
(1)
(0)
(k )
n
0
(k )
*
o
0
在D0上连续，因而有x * lim x ( k 1) lim G ( x ( k ) ) G ( x * )，
即x 是方程组F ( x ) 0的解。 设x* , y* D0是F ( x ) 0的两个不同的解，则有
T
定理1
说明：
f f f ( x ) , , x1 x2
f , xn
1o f 在 x 处的导数 f ( x )又称为 f 在 x 处的梯度，可记 为gradf ( x )或f ( x )； 2o 梯度f ( x )存在只是函数f 在x处可微的必要条件而非 充分条件。
f ( x h) - f ( x ) - l ( x )T h lim 0 hθ h (4.2.3)
成立，则称f 在x处可微，向量l ( x )称为f 在x处的导数， 记为：f ( x ) l ( x )；若D是开区域且f 在D内每一点都可 微，则称f 在D内可微。
定理1 若f : D R n R在x int( D )处可微,则f 在x处 f 关于各自变量的偏导数 ( j 1,2, x j , n)存在，且有
Lk x (1) x (0)
(ki ) ( k i 1)
证明 (1) 由于x(0) D0以及条件1o可知由(4.2.6)产生的序 压 o 列有意义且 x ( k ) D0。又由条件2 得 (k ) ( k 1)缩 (k ) (k ) ( k 1) (k ) L x x G ( x ) G ( x ) x x
3o 若F 在开区域D内可微,D0 D为开凸区域，则对任意
f1( x 1h)T T f 2( x 2 h) F ( x +h) F ( x ) h f ( x h) T n n
的x D0和x h D0，以下等式成立
简单迭代法
适当选取初始向量x (0) D, 构成迭代公式
x( k +1) G( x( k ) ),
k 0,1,2,
(4.2.6)
迭代公式 (4.2.6) 称为求解方程组 F(x)=0 的简单迭代法， 又称为不动点迭代法。G(x)称为迭代函数。
定理4(压缩映象原理) 设G：D R n R n在闭域D0 D上满足条件
§4.2 非线性方程组的迭代解法
§4.2.1 预备知识 一、一般非线性方程组及其向量表示法
含有n个方程的n元非线性方程组的一般形式为
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f (x , x , , x ) 0 2 1 2 n f n ( x1 , x2 , , xn ) 0
映 当m 1时有 射 x x x x L x x 原 L (1 L ) L 理 x x x x (4.2.10) 1 L 1 L 的 因0 L 1, 所以当k趋于时，上式中的最后一项是无穷 证 小量，由Cauchy收敛原理，序列 x 在R 中收敛，又由 明 D 是闭区域， ( x) x 的极限x D 。又由条件2 知，G
n 定理 2 定理2 设F : D R n R 为向量值函数 ,则F 在x int( D )
处可微的充分必要条件是F的所有分量f i(i 1,2, x处可微；若F 在x处可微,则有
, n)在
f i ( x ) F ( x ) x j nn



例1 用简单迭代法求解以下方程组
3 x1 cos x1 sin x2 0 4 x2 sin x1 cos x2 0
例 1
要求满足精度e( k )
x ( k ) x ( k 1) x(k )


1012
解：设
1 (cos x1 sin x2 ) x1 3 x ,G ( x ) 1 x2 (sin x1 cos x2 ) 4 则方程组可改写成 x G( x )。
把方程组F ( x ) 0改写成与之等价的形式
x G ( x) (4.2.5)
其中G：D Rn Rn。若x* D满足x* G( x* ),则称x*
为函数G( x)的不动点。因此G( x)的不动点就是方程组 F ( x ) 0的解;求方程组F ( x ) 0的解就转化为求函数的 G( x)的不动点。
要条件。又根据定理2，当F ( x )在x处可微时，有
f i ( x ) F ( x ) x j nn
■
n 定理3 设F : D Rn R定理 3
1o 若F 在x处的Jacobi矩阵存在且连续，则F 在x处可