8. 函数 f (x)=ax2-(5a-2)x-4 在[2，+∞)上是增函数，则 a 的取值 范围是__________________．
9. 已知 f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且 f (x 2) f (1 x) ， 则 x 的取值范围是__________________．
10. 判断函数 f (x) x2 1 在(0，+∞)上的单调性，并用定义证明． x
（1）利用单调性定义证明函数 f (x)在[3，5]上的单调性；
（2）求函数 f (x)的最小值和最大值．
15. 已知函数 f (x) x2 2ax 2 ，x∈[-5，5]． （1）当 a 1 时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数 a 的取值范围，使 y f (x) 在区间[-5，5]上是单 调函数．
2. （1）函数 f (x)=x2-2x 的单调递增区间是_______________；
（2）函数 f (x) 1 x 的单调递减区间是_________________； 1 x
（3）函数 f (x) x2 2 | x | 3 的单调递增区间是__________．
3. 已知 f (x)，g(x)定义在同一区间上，f (x)是增函数，g(x)是减函
4
【参考答案】
知识点睛 一、函数的单调性 1. （1） f (x1) f (x2 ) ，增函数
（2） f (x1) f (x2 ) ，减函数 二、函数的最值 1. （1）对任意的 x I ，都有 f (x) ≤ M
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M 2. （1）对任意的 x I ，都有 f (x) ≥ M
2
6. 已知函数 f (x)在 R 上是减函数，则满足 f (| 1 |) f (1) 的实数 x x
的取值范围是（ ）
A．(1，1)
B．(，1)
C．(，0)∪(，1)
D．(∞，1)∪(1，+∞)
7. 如果函数 f (x) x2 (1 a)x 2 在区间(-∞，4]上是减函数， 那么实数 a 的取值范围是__________________．
B． f ( 3) f (a2 a 1) 4
C． f ( 3) ≥ f (a2 a 1) 4
D． f ( ≤ f (a2 a 1) 4
5. 已知函数 f (x)在 R 上是减函数，a，b∈R，且 a+b<0，则下列 不等式一定成立的是（ ） A． f (a) f (b) f (a) f (b) B． f (a) f (b) f (a) f (b) C． f (a) f (b) f (a) f (b) D． f (a) f (b) f (a) f (b)
4 14. （1）证明略
（2）函数 f (x) 的最小值为-4，最大值为-2 15. （1）函数 f (x) 的最小值为 1，最大值为 37；
（2） a ≤ 5，a ≥ 5
5
三、最值计算的方法 1. 利用二次函数的性质（配方法） 2. 利用图象求函数的最大（小）值 3. 利用函数单调性判断函数的最大（小）值
1
精讲精练
1. 下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）
A． y 3 4x
B． y 1 x 1
C． y x2 x 1
D． y 2x2 5x 2
二、函数的最值 1. 最大值
设函数 y f (x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： （1）______________________；（2）_____________________． 那么，M 是函数 y f (x) 的最大值． 2. 最小值 设函数 y f (x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： （1）______________________；（2）_____________________． 那么，M 是函数 y f (x) 的最小值．
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M 精讲精练 1. D 2. （1） (1， )
（2） ( ，1) ，(1， ) （3） (1，0) ，(1， ) 3. B 4. C 5. B 6. C 7. [9， ) 8. [0，2] 9. [1，3)
2 10. 略 11. 略 12. 3 13. 15
函数的单调性与最值（讲义）
知识点睛
一、函数的单调性 1. 设函数 y f (x) 的定义域为 I，D⊆I，对x1，x2∈D，
当 x1<x2 时， （1）若________，则函数 y f (x) 在区间 D 上是_________； （2）若________，则函数 y f (x) 在区间 D 上是_________． 区间 D 就叫做 y f (x) 的单调区间． 2. 利用定义证明函数 f (x) 在给定的区间 D 上的单调性，一般步 骤如下： （1）取值（设 x1，x2 是区间 D 上的任意两个实数值，且 x1<x2） （2）作差变形（作差 f (x1) f (x2 ) ，并通常利用因式分解、 配方等方法，向有利于判断差的正负的方向变形） （3）定号，下结论（判断 f (x1) f (x2 ) 的正负，当符号不确 定时，可以进行分类讨论，再确定差的符号，最后根据定义 得出结论）
数，且 g(x)≠0，则（ ）
A．f (x)+g(x)是减函数
B．f (x)-g(x)是增函数
C．f (x)·g(x)是减函数
D． f (x) 是增函数 g(x)
4. 若函数 f (x)的定义域为 R，且在(0，+∞)上是减函数，则下列
不等式成立的是（ ）
A． f ( 3) f (a2 a 1) 4
11. 判断函数 f (x) x 4 在[2，+∞)上的单调性，并用定义证明. x
3
12. 函数 y 2x2 1，x N* 的最小值是________．
13. 若 0 t ≤ 1 ，则代数式 1 t 的最小值是________．
4
t
14.
已知函数
f (x)
x 2
1 x
，x∈[3，5]．