定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1和性质 t > 0 对于所有的 t。
参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。
函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。
函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。
[3]实变双曲函数y=sh(x)，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大，函数图像关于原点对称。
y=ch(x)，定义域：R，值域：[1，+∞），偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x 的等价无穷大，函数图像关于y轴对称。
y=th(x)，定义域：R，值域：（-1，1），奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间，lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。
y=cth(x)，定义域：{x|x≠0}，值域：{x||x|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1，lim[x->+∞，coth(x)=1]，lim[x->-∞，coth(x)=-1]。
y=sch(x)，定义域：R，值域：（0，1]，偶函数，最高点是（0，1），函数在（0，+∞）严格单调递减，x轴是其渐近线，lim[x->∞，sech(x)]=0。
y=xh(x)，定义域：{x|x≠0}，值域：{x|x≠0}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴，lim[x->∞，csch(x)]=0。
双曲函数名称的变更：sh也叫sinh，ch也叫cosh，th也叫tanh，cth也叫coth，sch也叫sech，xh也叫csch。
双曲正弦：sh(z) = [ e^z - e^(-z)] / 2双曲余弦：ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2解析性：shz，chz是全平面的解析函数。
周期性：shz，chz是周期函数，周期为2πi，这是完全不同于实变函数中的性质。
反双曲函数反双曲函数是双曲函数的反函数.，它们的定义为：arcsh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1）]arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1）]arcth(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2arcsch(x) = ± ln[1 + sqrt(1 - x^2)/ x]arcxh(x) = ln[1 - sqrt(1 + x^2)/ x]，如果 x < 0ln[1 + sqrt(1 + x^2) / x]，如果 x > 0其中，sqrt 为 square root 的缩写，即平方根3三角函数编辑双曲函数与三角函数有如下的关系：* sinh x = -i * sin(i * x)* cosh x = cos(i * x)* tanh x = -i * tan(i * x)* coth x = i * cot(i * x)* sech x = sec(i * x)* csch x = i * csc(i * x)i 为虚数单位，即 i * i = -1ch^2(x) - sh^2(x) =1cth^2(x) - xh^2(x)=1th^2(x) + sch^2(x)=1加法公式sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]coth(x+y)=（1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))减法公式sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]coth(x-y)=（1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))二倍角公式sinh（2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)cosh（2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1tanh（2x) = 2tanh(x)/（1+tanh^2(x))coth（2x) = （1+coth^2(x))/2coth(x)半角公式cosh^2(x / 2） = (cosh(x) + 1） / 2sinh^2(x / 2） = (cosh(x) - 1） / 2tanh(x / 2） = (cosh(x)-1）/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1）coth(x / 2） = sinh(x)/(coth(x)-1）=(coth(x)+1）/sinh(x)三倍角公式sin（3 * x) = 3 * sin(x) + 4 * sin^3(x)sinh（3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh^3(x)德莫佛公式（cosh(x）±sinh(x))^n=cosh(nx)±sinh(nx)双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。
Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x) * sinh(y））则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。
如5导数编辑（sinh(x))'=cosh(x)（cosh(x))'=sinh(x)（tanh(x))'=sech^2(x)（coth(x))'=-csch^2(x)（sech(x))'=-sech(x)tanh(x)（csch(x))'=-csch(x)coth(x)（arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1）（arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1） (x>1）（arctanh(x))'=1/（1-x^2） (|x|<1）（arccoth(x))'=1/（1-x^2） (|x|>1）6不定积分编辑∫sinh(x)dx=cosh(x)+c∫cosh(x)dx=sinh(x)+c∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c∫cot h(x)dx=ln|sinh(x)|+c∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2））+c2∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2）|+c∫[1/sqrt(x^2+1）]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1））+c∫[1/sqrt(x^2-1）]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1）|+c（sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)7级数表示编辑sinh(z)=z+z^3/3!+z^5/5!+z^7/7!+...+z^（2k-1）/（2k-1）！+... (z∈C)cosh(z)=1+z^2/2!+z^4/4!+z^6/6!+...+z^（2k)/（2k)!+... (z∈C)arcsinh(z)=z-（1/6）z^3+（3/40）z^5-（5/112）z^7+...+(-1）^k[（2k-1）！！/（2k)!!][z^（2k+1）/（2k+1）]+... (|z|<1）arctanh(z)=z+z^3/3+z^5/5+z^7/7+...+z^（2k-1）/（2k-1）+... (|z|<1）近似：z→+∞，sinh(z) ≈ exp(z)/2；cosh(z) ≈ exp(z)/2；tanh(z)→1；z→ - ∞，sinh(z) ≈ - exp(-z)/2；cosh(z) ≈ exp(-z)/2；tanh(z)→ - 1；z→0，sinh(z) ≈ z；cosh(z) ≈ 1 + z^2/2；8实际应用编辑双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。
阻力落体在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。