高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。

要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。

在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限教学目的与要求18学时1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数一、集合1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。

组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉ A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。

如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ⊂且B A ≠则称A 是B 的真子集。

空集φ： A ⊂φ2、 集合的运算并集B A ⋃ ：}A x |{x B A B x ∈∈=⋃或交集B A ⋂ ：}A x |{x B A B x ∈∈=⋂且差集 B A \：}|{\B x A x x B A ∉∈=且全集I 、E 补集C A ：集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律、A B B A ⋃=⋃ A B B A ⋂=⋂结合律、)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂分配律 )()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂对偶律 (cc c B A B A =⋃) c c c B A B A ⋃=⋂)( 笛卡儿积A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且3、 区间和邻域开区间 ),(b a闭区间 []b a ,半开半闭区间 ]()[b a b a ,, 有限、无限区间邻域：)(a U }{),(δδδ+-=a x a x a Ua 邻域的中心 δ邻域的半径去心邻域 ),(δa U左、右邻域二、映射1. 映射概念定义 设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作Y X f →：其中y 称为元素x 的像，并记作)(x f ，即 )(x f y = 注意：1）集合X ；集合Y ；对应法则f2）每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一3) 单射、满射、双射2、 映射、复合映射三、函数1、 函数的概念：定义：设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数 记为 D x x f y ∈=)(自变量、因变量、定义域、值域、函数值用f 、g 、ϕ函数相等：定义域、对应法则相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１) ｙ＝２2) ｙ＝x3) 符号函数4) 取整函数 []x y = （阶梯曲线）⎪⎩⎪⎨⎧-==010001 x x x y5) 分段函数 ⎩⎨⎧+≤≤=11102 x xx x y2、 函数的几种特性 1） 函数的有界性 (上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。

注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2) 函数的单调性 （单增、单减）在x 1、x 2点比较函数值)(1x f 与)(2x f 的大小（注：与区间有关）3) 函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f -关系决定)图形特点 (关于原点、Y 轴对称)4)函数的周期性(定义域中成立：)()(x f l x f =+)3、 反函数与复合函数反函数：函数)(:D f D f →是单射，则有逆映射x y f=-)(1，称此映射1-f 为f 函数的反函数函数与反函数的图像关x y =于对称复合函数：函数)(y g u =定义域为D 1，函数)(x f y =在D 上有定义、且1)(D D f ⊂。

则)())((x f g x f g u ==为复合函数。

(注意：构成条件)4、 函数的运算和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)5、 初等函数：1) 幂函数：a x y = 2)指数函数：x a y =3) 对数函数 )(log x y a =4)三角函数)cot(),tan(),cos(),sin(x y x y x y x y ====5) 反三角函数)arcsin(x y =， )arccos(x y =)cot()arctan(x arc y x y ==以上五种函数为基本初等函数6) 双曲函数 2xx e e shx --= 2x x e e chx -+= x x xx e e e e chx shx thx --+-==注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式shyshx chy chx y x ch shy shx chy chx y x ch shychx chy shx y x sh shychx chy shx y x sh ⋅-⋅=-⋅+⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+)()()()(反双曲函数：arthxy archx y arshxy ===作业： 同步练习册练习一第二节：数列的极限一、数列数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。

一般写成： n a a a a a 4321缩写为{}n u例 1 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1是这样一个数列{}n x ，其中 nx n 1=， 5,4,3,2,1=n 也可写为： 514131211 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为01lim=∞→nn 1、 极限的N -ε定义：εε a x N n Nn -∀∃∀0则称数列{}n x 的极限为a ，记成 a x n n =∞→lim也可等价表述：1）ερε<>∀∃>∀)(0a x N n N n2）)(0εεa O x N n N n ∈>∀∃>∀极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质定理1：如果数列{}n x 收敛，那么它的极限是唯一定理2 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界定理3：如果a x n x =∞→lim 且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N 时，)0(0<>n n x x定理4、如果数列}{n x 收敛于a 那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a 。

第三节：函数的极限一、极限的定义1、在0x 点的极限1）0x 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f 在0x 有没有定义，以及函数值)(0x f 的大小。

只要满足：存在某个0>ρ使：D x x x x ⊂+⋃-),(),(0000ρρ。

2）如果自变量x 趋于0x 时，相应的函数值 )(x f 有一个总趋势-----以某个实数A 为极限 ，则记为 ：A x f x x =→)(lim 0。

形式定义为：εδδε<-<-<∀⋅∃⋅>∀A x f x x x )()0(00注：左、右极限。

单侧极限、极限的关系2、∞→x 的极限设：),()(+∞-∞∈=x x f y 如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近线A y =-----则称函数在无限远点∞有极限。

记为：A x f x =∞→)(lim在无穷远点∞的左右极限：)(lim )(x f f x +∞→=+∞ )(lim )(x f f x -∞→=-∞ 关系为：)(lim )(lim )(lim x f A x f A x f x x x -∞→+∞→∞→==⇔= 二、函数极限的性质1、 极限的唯一性2、 函数极限的局部有界性3、 函数极限的局部保号性4、 函数极限与数列极限的关系第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列{}n x ，如果成立如下的命题： εε<⋅>∀⋅∃⋅>∀n x N n N 0 则称它为无穷小量，即0lim =∞→n x x 注： 1、ε∃∀的意义；2、ε<n x 可写成ε<-0n x ；ερ<),0(n x3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数ε，存在一个号码N ，使在这个号码以后的所有的号码n ，相应的n x 与极限0的距离比这个给定的ε还小。

它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程0x x →（或)∞→x 中，函数()x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(，其中α是无穷小。

二、无穷大定义一个数列{}n x ，如果成立：G x N n N G n >⋅>∀⋅∃⋅>∀0那么称它为无穷大量。

记成：∞=∞→n x x lim 。

特别地，如果G x N n N G n >⋅>∀⋅∃⋅>∀0，则称为正无穷大，记成+∞=∞→n x x lim 特别地，如果G x N n N G n -<⋅>∀⋅∃⋅>∀0，则称为负无穷大，记成-∞=∞→n x x lim注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系定理2 在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f为无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且0)(≠x f 则)(1x f 为无穷大 即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当0≠n x 时：有 ∞=⇒=∞→∞←nx x x 1lim 0lim 01lim lim =⇒∞=∞→∞←nx x x 注意是在自变量的同一个变化过程中第五节：极限运算法则1、无穷小的性质设{}n x 和{}n y 是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：0)(lim 0lim 0lim =±⇒==∞←∞→∞→n n x n x n x y x y x （2）对于任意常数C ，数列{}n x c ⋅也是无穷小量：0)(lim 0lim=⋅⇒=∞←∞→n x n x x c x （3）{}n y x n ⋅也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。