(1)分析说明三绕一应该具有怎样的空间结构模式。
(2)若相邻星球的最小距离均为a,求两种构成形式下天体运动的周期
之比。
解析:(1)三颗星绕另一颗中心星运动时,其中任意一个绕行星球受 到另三个星球的万有引力的合力提供向心力,三个绕行星球的向心 力一定指向同一点,且中心星受力平衡,由于星球质量相等,具有对 称关系,因此向心力一定指向中心星,绕行星一定分布在以中心星为
专题3 天体运动问题的归类整合
宇宙飞船、人造卫星、航天飞机是物理学和现代科技发展的产 物,与此相关的天体运动问题是每年高考的命题热点,一般多以选择 题的形式出现。 天体运动问题的常见题型:
(1)天体的质量、密度计算问题;
(2)天体类重力加速度的分析与计算; (3)卫星的运行——基本参量的分析与计算;(4)卫星的变轨问题;(5)双
出,重力加速度是联系运动学和万有引力、天体运动的纽带。
【例6】 随着我国登月计划的实施,我国宇航员登上月球已不是梦想 。假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上 抛出一个小球,经时间t后小球回到出发点。已知月球的半径为R,万 有引力常量为G。则下列说法正确的是(
0 A.月球表面的重力加速度为
v0 2 R2 v0 =2gh,即g= ②,由①②并结合题意得M∝ ,即所求 动的规律,得 h 2h
2
GMm R
M 地 R地 2 hx 为 =( ) =k。 Rx h地 Mx
一个星球高速旋转而不瓦解的临界条件为星体赤道表面的某质点m 所受星体的万有引力等于向心力,则
3 4 3 Mm (4 )2 由G =m 2 r和M= πr ρ得T= 。 G ρ 3 r2 T
率减小
答案： AB
2 r v2 4 2 r 3 4 2 GM Mm 解析:由G = m r=m ,求得M= 2 ,r= ,T= ,故A正确;由 v r GT r2 v2 T2
卫星知识可知B正确;在某一轨道上沿同一方向绕行的人造卫星和飞
船,其运行速度大小相等,飞船如果加速会做离心运动,故同一轨道沿 同一方向运行的卫星,后面的卫星速度增大追不上前面的卫星,C错误; “神舟”七号飞船的速率不会因为宇航员的离开发生变化,D错。故 正确选项为A、B。
2 对正方形模式,如图乙所示,四星的轨道半径均为 a,同理有 2
4 2 2 m2 m2 2· G cos 45°+G =m 2 a ③ 2 T a2 2 ( 2a ) 2
4(4 2) 2 a3 T2 = 解得 ④ 7Gm
2
(4 2)(3 3) T1 故 = 。 4 T2
【例1】 在月球上以初速度v0自高h处水平抛出的小球,射程可达x。 已知月球半径为R,如果在月球上发射一颗月球的卫星,它在月球表面
附近环绕月球运行的速度是多少?
解析:设月球表面的重力加速度为g',小球做平抛运动,水平方向x=v0t,
2 hv0 2 v0 1 2 v12 竖直方向h= g't ,对于卫星mg'=m ,解以上各式得g'= , v = 1 x2 2 x R
【例4】 火星在2007年12月18日与地球靠得最近,为天文爱好者观测
火星提供了绝好的机会。如图所示为简化的原理图。若火星和地球
绕太阳的运动可以近似看做为同一平面内同方向的匀速圆周运动,
A 已知火星的轨道半径和地球的轨道半径之比为 =1.53,从图示的火
r rB
星与地球相距最近的时刻开始计时,试估算火星再次与地球相距最 近需多少年。(保留两位有效数字)
3GmT 2 4 2
)
1 3
拓展链接2宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统,这些系统一
般离其他恒星较远,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。四星系统
通常有两种构成形式:一是三颗星绕另一颗中心星运动(三绕一);二是四 颗星稳定地分布在正方形的四个顶点上运动。若每个星体的质量均为
m,引力常量为G。
地球质量与此天体的质量比为
,若粗略地认为组成星
球的物质是靠万有引力凝聚在一起的,则这样的星球有一个最大的 自转速率,如果超过了该速率,星球的万有引力将不足以维持其赤道 附近的物体做圆周运动,最终导致星球解体。设此x天体的密度为ρ, 且质量均匀分布,则其最小自转周期为 。
解析:由万有引力等于重力,得 2 =mg,即M∝gR2①;根据竖直上抛运
五、天体运动的综合问题 1.与光学知识的综合 此类问题对用图展示物理过程、数理结合方面要求较高,因此根据题 意画好光路图至关重要。
【例5】 (2010· 浙江理综)宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时,由
于地球遮挡阳光,会经历“日全食”过程,如图所示。已知地球的半
径为R,地球质量为M,引力常量为G,地球自转周期为
2 2 v R M 0 项A正确;而g=G ,两式联立得M= ,选项B正确;月球表面的第一 2 Gt R
Mm =mR( 2 ) 2v0 R ,选项C错误;在月球表面,由G 宇宙速度为v= gR =
t
R2
T
2
2 Rt ,联立前面式子解得T=π ,选项D错误。 v0
大),其最易做离心运动,导致天体解体。此类问题既不同于天体表面
附近的卫星做匀速圆周运动(二者轨道半径相同,但周期不同),也不同 于同步卫星的运转(二者周期虽相同,但轨道半径不同)。这三类问题 极易混淆,要弄清楚。
【例2】 设在地球上和在x天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的 最大高度比为k(均不计阻力),且已知地球和x天体的半径比也是k,则
)。
2v t
2v0 R 2 B.月球的质量为 Gt
0 C.宇航员在月球表面获得 的速度就可能离开月球表面围绕月球
vR t
做圆周运动
Rt D.宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为 v0
答案： AB
2v0 gt 解析:设月球表面的重力加速度为g,v0= ,即g= ,选 t 2
四、天体的“追及相遇”问题 “天体相遇”,指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一
平面内,则两环绕天体与中心天体在同一直线上,且位于中心天体的
同侧(或异侧)时相距最近(或最远)。 设天体1(离中心近些)与天体2某时刻相距最近,如果经过时间t,两天 体与中心连线半径转过的角度相差2π的整数倍,则两天体又相距最 近,即ω1t-ω2t=2nπ(n=1,2,3…);如果经过时间t',两天体与中心连线半径 转过的角度相差π的奇数倍,则两天体又相距最远,即ω1t'-ω2t'=(2n-1)π (n=1,2,3…)。
答案:k
3 / Gρ
三、三星问题 三星问题和双星问题相似,解答时要注意:(1)绕某中心天体转动的天 体有相同的周期;(2)环绕天体的轨道半径一般不等于天体间的距离,
通过几何知识可找到它们的关系;(3)弄清环绕天体运动的向心力由
谁(其他天体的引力的合力)提供。
【例3】 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星 组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测 到稳定的三星系统存在的一种形式是三颗星位于等边三角形的三个 顶点上,并沿外接于等边三角形的圆轨道运行,其周期为T。设每个星 体的质量均为m,万有引力常量为G,则星体之间的距离应为多少?
答案:20 m/s
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二、天体自转不解体问题 天体自转时,天体上的各质点(轴上的除外)都随天体绕自转轴(某点) 做匀速圆周运动,其特点为:(1)具有与天体自转相同的角速度和周期; (2)万有引力除提供向心力外,还要产生重力;(3)当质量、转速相同时, 赤道上的质点所需向心力最大,若转速增大(或密度变小,即半径变
解析:两行星位于太阳的同侧且与太阳中心在同一直线上时,它们相 距最近,设经时间t,两行星与太阳中心的连线半径转过的角度相差2π
2 2 的整数倍,由于rA>rB,所以有( - )t=2π① TB TA
GM 太 m火 2 2 对火星有 2 =m火( ) rA ② TA rA
GM 太m地 2 2 对地球有 2 =m地( ) rB ③ TB rB
α ,其角速度为ω=2π/T,可知 解析:由题图可知卫星轨道半径为r=R/sin 2
2 R 其线速度为v=ωr= α ,选项A正确;一天内飞船经历的“日全食” T sin 2
次数为T0/T,选项B错误;如图所示,飞船每次经历“日全食”过程的时
T0 间为 ·β,由于β≠α,可知选项C错误;飞船圆周运动周长为s=2πr= 2 R , 2 α sin 2 2 Mm mv 设飞船线速度为v,由牛顿第二定律有G ( R ) 2 = R , ( ) α α sin sin 2 2
2hR 。
v0 答案: 2hR x
拓展链接11990年3月,中国紫金山天文台将1965年9月20日发现的第275 2号小行星命名为“吴健雄星”,其直径2R2=32 km。如果该小行星的密 度与地球的密度相同,则对该小行星而言,第一宇宙速度为多少?(已知地
球的半径为R1=6 400 km,地球的第一宇宙速度v=8 km/s)
解析:星体做圆周运动所需的向心力靠其他两个星体的万有引力的合
力提供,求两星体之间的万有引力时,应用星体之间的距离r,①③式正 确。正确解法为:
2Gm 2 如图所示,由力的合成和牛顿运动定律有F合= cos 30°② 2 r
3GmT 2 3 ) 。 由①②③式得r=( 2 4
1
答案:不同意
(
星问题。
除此以外,还有下列题型:
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一、第一宇宙速度的求解问题
Mm GM 第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度,表达式一:v1= ,由G R2 R
v12 v12 =m 求得。表达式二:v1= gR ,由mg=m 求得。由于涉及重力加速 R R
度g,经常与竖直上抛、平抛、单摆等综合起来考查。