熟悉 Matlab 的 rand（） ，abs（） ，eig（）等函数，并采用这些函数随机生成用于 测试的阶正定矩阵 A 及 n 维列向量 b。
3)
令 n=1000，随机生成问题算例，采用 Matlab 计算所生成的问题的条件数，并采用 最速下降法求解该问题， 观察迭代过程中目标值变化趋势， 残差的 2-范数变化趋势。
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实验二、凸二次规划的共轭梯度算法
一、 实验目的 1、 2、 3、 二、 初步掌握在 PC 机上建立、汇编和运行 Matlab 汇编语言程序的过程。 通过对两个验证性实验的阅读、调试，掌握不同算法的程序设计方法。 完成程序设计题，加深对最优化算法的理解，了解简单程序设计方法。
实验条件 一台计算机
三、
实验内容与步骤
1) 2)
1 T T 用 Matalab 编写梯度下降算法求解 min x Ax-b x。 2
令 n=1000，随机生成问题算例，采用 Matlab 计算所生成的问题的条件数，并采用 最速下降法和共轭梯度法求解该算例，观察残差的 2-范数变化趋势。对两种算法的 收敛效率进行比较并给出结论。
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设反了，其次在实验过程中也出现了忘记加“*”导致实验不能继续进行的情况，最后由于 未能对之前的实验代码清除干净，导致程序无法执行，或者得不到想要的实验结果，这些在 实验中都是应该注意的。
பைடு நூலகம்
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4) 5)
设计实验，观察条件数对收敛效率的影响。
参考程序如下： n=1000 B=rand(n)*10-5 C=B+B' [V,D]=eig(C) A=V*abs(D)*V' b=rand(n,1)*20-10
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x=zeros(n,1) r=A*x-b i=1 while norm(r)>=0.001 d=-r alpha=(r'*r)/(r'*A*r) x=x+alpha*d r=A*x-b y(i)=norm(r) i=i+1 end semilogy(y) k=max(eig(A))/min(eig(A)) 四、实验结论与分析 实验结果:在调试运行后， 将精度设计到 10 采用最速下降法所进行的迭代步数一共是 i=5399 步， 生成的残差的 2-范数变化趋势见下一页附表呈现下降状，条件数 k =1.1173e+03。 分析：本次实验的重要之处在于能够预先设定好相应的程序，并对程序的运行进行相应的调试。 本次实验中，有以下几点看法： （1）梯度下降法每次都选择的是负梯度方向，并且每步长值选的是能 达到最优解的步长值， 所以通过实验图像可以看出每一次的迭代都是向最优解的靠近， 几乎达到坡度 很大的直线下降的趋势。 （2）通过对不同条件数的比较，条件数越接近 1，则最速下降法收敛速度越 快，本次实验的条件数是 k =1.1173e+03，条件数比较大，所以收敛速度很慢，收敛到规定精度以内， 用了五千多步，条件数更大的时候有时需要将近一万多步。最速下降法对条件数的依赖很大。 （3）当 初始解离最优解非常远时，收敛速度非常快，用了几步就到达 100 以内，但是在最优解附近，收敛速 度相当慢，在最优解附近时，在使用最速下降法时，为了增加效率应该尽量的减小精度。 五、实验心得 在本次实验中，学习了 Matlab 的基本操作，通过实验的设计对最速下降法有了更深 刻的理解。 第3页
一、 实验目的 1、 2、 3、 二、 初步掌握在 PC 机上建立、汇编和运行 Matlab 汇编语言程序的过程。 通过对两个验证性实验的阅读、调试，掌握不同算法的程序设计方法。 完成程序设计题，加深对最优化算法的理解，了解简单程序设计方法。
实验条件 一台计算机
三、
实验内容与步骤
1) 2)
1 T T 用 Matalab 编写梯度下降算法求解 min x Ax-b x。 2
华北电力大学
实 验 报 告
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实验名称 实验一
凸二次规划的梯度下降算法
实验二 凸二次规划的共轭梯度算法
课程名称
管理运筹学
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专业班级：研经管 1627 学 号：1162206003
学生姓名：钱进 成 绩：
指导教师：路程
实验日期：2016-12-23
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实验一、凸二次规划的梯度下降算法
3)
设计实验， 生成具有不同条件数的问题算例， 观察条件数对共轭梯度算法收敛效率 的影响，并与之前最速下降法的实验结果对比。给出分析。
4)
参考程序如下： n=1000 B=rand(n)*10-5 C=B+B' [V,D]=eig(C) A=V*abs(D)*V' b=rand(n,1)*20-10 x=zeros(n,1) 第4页
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r=A*x-b d=-r i=1 while norm(r)>=0.001 alpha=-(r'*d)/(d'*A*d) x=x+alpha*d r=A*x-b beta=(r'*A*d)/(d'*A*d) d=-r+beta*d y(i)=norm(r) i=i+1 end plot(y) k=max(eig(A))/min(eig(A)) 四、 实验结论与分析 实验结论： 在调试运行后， 将精度设计到 10-3 采用共轭梯度法所进行的迭代步数一共是 i=140 步，生成的残差的 2-范数变化趋势见下一页附表呈现锯齿下降状，条件数 k =1.3082e+03。 分析： （1）从条件数的比价来看，共轭梯度法和最速下降法的条件数几乎相当，但是收 敛效率却有明显的差别， 共轭梯度法达到 10 的精度仅仅用了 140 步， 效率很高， 而同样的问题， 最速下降法则要大概五千多步。 （2） 共轭梯度法对条件数的依赖程度比较低， 即使条件数比较大， 共轭梯度的收敛效率也很可观，相对来说梯度下降法对条件数的要求更高。 （2）通过生成的残差 2-范数图像可以看出，共轭梯度法是波动中下降，对此问题也进行了认真的思考，最后了解到条 件数如果很大，即最大和最小特征值相差很大，残差会在一定范围内波动，因此会出现波动下降 的结果，如果将条件数限定的比较小，则可以看到该下降法的直线下降趋势。 五、 实验心得 在实验过程中，刚开始一度出现向上的图像，后来通过对程序的查找，发现迭代方向 第5页