2011年第八届苏北数学建模联赛题目高校综合奖学金的评定摘要本文主要研究了高校奖学金的评定方法，运用学生奖学金综合评判层次分析法构建出高校奖学金综合测评模型。

问题一，本文结合高校绝大部分学生在认识综合成绩测评时对考试课与考查课的重视程度不一样，他们相对考查课更重视考试课。

而且考试课相对考查课更客观、真实、公正，而考查课比较的灵活，有很多的不确定因素。

对它们赋于不同权重值后，建立出综合成绩模型Ⅰ，运用Matlab软件，得出学生综合成绩分数及排名（见表1）问题二通过分析影响综合奖学金评定的主要因素，建立评定综合奖学金的指标体系，对影响综合奖学金的学习情况、思想道德、科学文化、工作能力、生活习惯5个主要方面的各因素给出了客观的量化方法，运用层次分析法，构建了大学生奖学金评定的多指标综合评价模型Ⅱ，得出了各指标的权重值（见表10）。

进而列出了综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重值（见表11）。

问题三结合模型Ⅱ所得的各项指标的权重值，运用加权算术平均法确立综合测评成绩的模型，并确定了具体的奖学金获得者名单为一等奖：学生N,二等奖：学生C、F、A三等奖：学生E、D、G、I、K；最后借助模糊综合评判模型Ⅲ对所获得的奖学金名单进行了检验分析，结果完全一致。

表明了模型Ⅱ的科学性与实用性。

根据问题四的要求，撰写了一篇奖学金评定的主要说明，为负责奖学金评定的人阐述了评定方案的依据和过程。

制定出了一套完善的奖学金评定的综合评价制度，有一定的实际指导意义。

本文结尾根据可行性原则，客观的对模型进行了优缺点分析及提出了改进方案，并对模型的适用性进行了举例及推广。

关键词：层次分析法奖学金评定模糊综合评判权重一、问题重述1.1 背景资料与条件奖学金制度是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度，评定奖学金成为高校每年工作的一个重要环节。

奖学金评定有其明确的标准，这些标准是学校奖学金制度是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度，评定奖学金成培养目标的具体化，奖学金评定对学生的行为具有导向功能。

目前，高校奖学金主要有综合奖学金和单项奖学金两大类。

综合奖学金主要是对各方面表现都比较优秀的学生设立的，单项奖学金则主要是针对在某一方面表现比较突出的学生设立的。

1.2 需要解决的问题从收集了某班级评定奖学金可以用到的一些资料（在奖学金评定信息.xls中）。

考虑到该班级所在学校对奖学金的评定有基本条件限制，如考试课成绩不能低于70分等，表中只给出了满足基本条件的同学的信息。

请建立数学模型，根据资料中提供的数据，确定奖学金获得者名单。

具体要求如下：(1) 根据Excel中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。

说明：Excel中每门课程名称后面括号中的数据为该课程的学分。

如考试课3（2.5）表示考试课3的学分为2.5。

(2) 结合你所了解的相关情况，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。

注意，权重应该与学校希望实现的培养目标一致，即各部分的权重应该体现出学校对学生各方面要求的侧重，以引导学生按照学校的培养目标确定自己的发展方向。

对表格中的数据，说明如下：①为了简化问题，对于获奖情况，不管是科技类还是文艺类等方面的获奖，我们只考虑获奖级别的差异，而不考虑获奖内容的差别。

②该班级总人数为32，为了得到该班同学的民主测评情况，要求该班级所有同学根据自己的了解，为自己认为各方面表现良好的同学投票。

每人至多投10票，表中“学生投票”列是统计得到的每个同学的得票数。

(3) 该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，请给出具体获奖名单。

(4) 撰写一篇不超过2页的奖学金评定说明，向负责奖学金评定的人（如班主任、班长等）阐述你们计算奖学金的主要依据和过程。

二、问题分析2.1 问题的重要性分析随着党和国家对高校教育的越加重视，对在校大学生的奖励制度越来越完善。

在新世纪的挑战之下，社会对创新型人才需求的空前增长，创新型综合人才也成为社会普遍关注的话题。

而作为综合人才培养导向航标的高校奖学金制度要怎样才能发挥其作用，怎样才能客观、公正、公平的评出那些真正意义上的对社会有用的综合性人才给予奖励已成为刻不容缓的问题等待着去解决。

由于学生个人的价值观具有复杂性、多样性、不确定性，所以确定一种合理的对学生综合能力有引导作用的奖励制度是很有价值意义的。

但是如果缺少一个严谨、统一的制度，奖学金的评定在实行中容易受评定者的主观影响、缺乏执行力。

因此，结合时代需求以及专业特色，利用数学思想，通过多角度分析，建立合理的对学生综合评价模型能实现定量的客观评价。

2.2 问题的思路分析本文主要的突破口和难点是对权重的分析和对卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票所对应的值的把握。

针对问题一中要求计算出学生的综合成绩并给出具体的排名情况，本文采用了层次分析法比较简便准确的得到了预期的结果。

之后在确定问题二的解决方案时，采用了以层次分析法为主，模糊综合评判法相结合的创新型思维方式较为合理的确定出了权重的分配问题。

在对卫生等四个方面的权值的确定上，我们想到了结合一些典型高校的处理政策和方针来突破。

想到问题三是建立在二的基础之上的，当很合理的解决问题二时，很顺利的就得到了具体的获奖名单。

最后写一篇比较合理的关于奖学金评定的说明是在预料之中的。

三、基本假设1、假设老师给每位同学所评的成绩都很客观和真实；2、民主投票所得到的数据符合规定的标准；3、假设奖学金是每年评选一次；4、假设班委和其它职务都工作满一年且都尽职尽责；5、假设学校奖学金的评定（学校希望实现的培养目标）的主要考察点为Excel中所给的那5项；6、加分制度实行累加制；7、部分假设题目中已经给出；四、符号说明x第i名学生第j门考试课的成绩ijy第i名学生第j门考查课的成绩ijλ第j门考试课程的学分jv第j门考查课程的学分jα考试课程的权重k考试课程的总科目数m考查课程的总科目数n学生的总人数f第i指标的定量值iω第i指标对应的权重i注：其它符号在文中出现处说明五、模型的建立与求解5.1 综合成绩的计算方法与排名 5.1.1 模型Ⅰ的建立与求解结合高校的现状，考虑到绝大部分学生对考试课与考查课的重视层度不一样，他们相对考查课来说，更重视考试课。

而且考试课相比考查课更客观、真实、公正，考查课比较的灵活，有很多的不确定因素。

因此，在模型Ⅰ中，我们给考试课的权重为α，相对的考查课的权重为α-1，则学生的综合成绩Z 按下列方法计算：()()∑∑∑∑=====-+-+kj mj jj kj mj j ij j ij v v y x Z 111111αλααλα当老师给出一个α值时，模型Ⅰ就可以按照老师的意愿得到相应的综合成绩排名。

这里为了得到同学的排名，我们结合高校现所使用的实际情况【1】给考试课的权重8.0=α，考查课的权重相对应的为0.2。

则问题一中的综合成绩1Z ：∑∑∑∑=====++kj m j jj kj mj jij j ij v v y x Z 11112.08.02.08.01λλ按综合成绩1Z 由高到低的顺序排名就得到了问题一相对合理的解（见附录一）。

具体排名如表1表1 综合成绩的排名表5.2 解决评定奖学金时各因素所占的权重 5.2.1 层次分析法层次分析法[2]是美围数学家Saaty L T ..于20世纪70年代提出的一种系统分析与决策的综合评价方法，也是一种将定量分析与定性分析相结合的系统分析方法，它较合理的解决了定性问题定量化的处理过程。

具体步骤为：首先把要解决的问题和要达到的目的按性质分解成不同的因素，按各因素之间的相互影响和隶属关系进行分层聚类组合，形成一个有序的层次结构模型。

然后对模型中每一层因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值。

最后通过综合计算出各层因素相对重要性的权值，得到指标层对目标层的相对重要性次序的组合权值，以此作为评价的依据。

图 1 层次分析法框架图5.2.2 模型Ⅱ的建立运用层次分析法，将学生的综合测评问题层次化，根据问题的要求和要达到的目的，将问题分解成不同的组成因素，据因素间的相互关联、影响及隶属关系按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析模型如表2所示：表 2 学生奖学金综合测评模型5.2.3 模型Ⅱ的求解 5.2.3.1判断矩阵建立的背景我们把定性分析与定量计算相结合，定性问题定量化，在上面已有的层次结构背景的基础上构造两两比较的判断矩阵。

在这一步中，决策者反复针对准则C ，判断出两个C 所支配的元素i u 与j u 哪个更重要，重要的程度如何，并按1~9标度对重要程度赋值表3 给出1~9标度的含义。

目标层O ：准则层C ：方案层P ：方案1 方案2方案n…………………………表 3 根据层次分析法权重含义表5.2.3.2 判断矩阵的构造及计算对已建的层次分析模型，应用层次分析法原理，采用Saaty 提出的1~9标度法，根据各因素之间的比较得到量化的判断矩阵（见附件二），并运用方根法，逐个验证判断矩阵是否具有一致性(见表4~表9)。

1.00402.0,0450.0,1801.51max max <=====--I IR C R n n I C C λλ则认为判断矩阵的一致性可以接受。

表 4 判断矩阵A —B表 5 判断矩阵1B —C表 6 判断矩阵2B —C表 7 判断矩阵3B —C表 8 判断矩阵4B —C表 9 判断矩阵5B —C5.2.3.3 层次总排序计算根据上述矩阵判断排序的结果，综合出对目标层的优劣程度的判断，得到指标层对目标层的优劣程度的判断向量，综合出各指标的权重如表10所示。

表 10 层次总排序的权重结果由表10可以作出各项指标的权重图（如图2）项目1—10权重图 2 10项评分参考指标的权重图根据表10所得数据，得出下面5项指标在奖学金评定过程中所占的权重大小如表11。

表 11 主要指标所占的权重5.3 获奖名单的确立 5.3.1 加分制度方法的确立利用上述制定的综合成绩测评模型对班学生进行了科学、细致的量化考核，通过调查各高校对学生工作、获奖情况的加分制度，得出了较为客观、合理的学生工作加分表12和获奖情况加分表13。

表 12 学生工作加分制度（20分制）表 13 学生获奖加分制度（20分制）三）由层次分析法得到了主要5项指标的权重，运用加权算术平均法计算综合测评成绩，得到综合测评成绩O 模型：∑∑=ii ii f O ωω运用Matlab 软件编程（附录四）计算出每个学生的综合测评成绩如表14。