基于S 变换的信号瞬时频率特征提取
摘要： S 变换是一种优越的时频分析方法，能够清晰表达信号瞬时频率的变化特征。
与传统时频分析方法相对比，S 变换的抗噪性较强，无交叉项干扰。
本文提出了采用S 变换来提取调制信号的瞬时频率。
仿真实验结果表明，S 变换时频谱能够清晰表示出不同信号的瞬时频率特征。
关键词：时频分析；S 变换；时频图；调制信号；瞬时频率
1 引言
信号的瞬时频率特征可以反映信号在不同时刻的频率变化规律。
与传统的时频分析方法相比较，S 变换的时频分析方法具有频率分辨率高、抗噪性强、无交叉项干扰等优点，这使得S 变换能够准确提取信号的瞬时频率。
2S 变换的基本原理
2.1S 变换的提出
S 变换由短时傅里叶变换发展而来，借鉴了短时傅里叶变换加窗的思想。
将短时傅里叶变换中的高斯窗函数进行相关伸缩和平移，从而使信号的频率分辨率具备随频率的适应性。
这个特点使得S 变换在信号的时频分析中具有明显的优势。
S 变换[1]是由地球物理学家Stockwell 于1996年首次提出的。
它可由短时傅里叶变换推导而来，对于连续信号()h t 的短时傅里叶变换为：
2(,)()()j ft STFT f x t w t e dt π+∞
--∞τ=-τ⎰(1) 其中，
22()t t -δω= (2)
若窗函数为归一化的高斯函数，且对窗函数进行依赖频率的伸缩和平移，那么
22()2(,)t f t f τ
τ--ω-= (3)
这样就得到了连续信号()h t 的S 变换定义式：
22()22(,)(f
t i ft ST f h t e dt πτ-+∞---∞τ=⎰
(4)
其中，τ为时移因子。
利用S 变换与傅里叶变换之间的紧密联系，可实现信号从S 变换中的无损恢复。
S 变换的逆变换形式如式(5)所示：
{}
2()(,)j ft h t S f d e df πττ+∞
+∞-∞-∞=⎰⎰ (5) S 变换还可以看成是信号的小波变换与相位因子的乘积。
它采用平移、伸缩的局部高斯窗函数作为母小波，具有频率分辨率高、抗噪性强的优点，且不需满足小波变换的容许性条件。
因此，S 变换并不是严格意义上的小波变换，但可以看成是小波变换的一种扩展。
2.2S 变换的瞬时频率表达
由于S 变换为复数，包含实部和虚部，所以S 变换可以表示为：
(,)(,)(,)j f S f A f e τττΦ= (6)
其中(,)A f τ为振幅谱，(,)f τΦ为相位谱：
(,)f τA =[][]Im (,)(,)arctan Re (,)S f f S f τττ⎧⎫⎪⎪Φ=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
(8)
由相位(,)f τΦ可以得到一般形式的瞬时频率
()(),1,2f IF f ττπτ
∂Φ=⨯∂ (9) 3 调制信号的S 域时频图及瞬时频率
周期为40Hz ，占空比为50%的脉冲信号，图1(a)为其S 变换后的时频谱。
图1(b)为从信号时频谱中提取的瞬时频率特征。
从图中可以看出脉冲信号的瞬时频率特征呈现直线型。
(a)CP 信号的时频图
(b)CP 信号的瞬时频率特征图
图1CP 信号的S 变换及其瞬时频率
线性调频信号具有良好的距离分辨率和速度分辨率，是现代雷达信号中较为常见的一种。
起始频率为20Hz ，信号瞬时频率变换斜率为40的线性调频信号的时域图，图2(a)为其S 变换后的时频谱。
图2(b)为从信号时频谱中提取的瞬时频率特征。
从图中可以看出LFN 信号的瞬时频率特征呈现明显的斜线型。
论文发表陈编辑q ，2355.369,330。
(a)LFM 信号的时频图
(b) LFM 信号的瞬时频率特征图
图2 LFM 信号的S 变换及其瞬时频率
FM 信号的被调信号是频率为5Hz 的正弦信号，载波频率为30Hz ，图3(a)为其S 变换后的时频谱。
图3(b)为从信号时频谱中提取的瞬时频率特征。
从图中可以看出脉冲信号的瞬时频率特征呈现正弦波型。
(a) FM信号的时频图
(b)FM信号的瞬时频率特征图
由上面的仿真图可以看出，不同调制方式信号的S变换提取的瞬时频率特征图具有很好的轮廓区分性。
CP、LFM、FM信号的瞬时频率特征分别呈现直线型、斜线型、正弦波型。
这些特征非常便于直接观察识别。
3 结论
S变换作为短时傅里叶变换和小波变换的扩展，具有频率分辨率高、抗噪性强的优点。
调制信号经过S变换后，其频率变换信息能够清晰的在S域的时频谱中反映出来，接下来可以重点研究如何从调制信号的S域时频谱瞬时频率中提取可以用于调制特征识别的级联特征，这也为调制信号分类识别领域的研究提供了一个新的方向。
4 参考文献
[1]普运伟，金炜东，胡来招. Automatic Classification of Radar Emitter Signals Based on Cascade Feature Extractions. JOURNAL OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY.
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[2]Stockwell R G, Mansinha L, Lowe R P. Localization of the complex spectrum: The S transform[J]. IEEE Trans. on Signal Processing, 1996, 44(4): 998~1001.
[3]普运伟，金炜东，胡来招.雷达辐射源信号瞬时频率派生特征分类方法.哈尔滨工业大学学报.2009年l月，41(l):136一140.
[4]Ervin Sejdic, L. Jubisa Stankovic, Milos Dakovic. Instantaneous Frequency Estimation Using the S-Transform. IEEE Signal Processing Letters, vol.15.pp.309-312.2008。