a1



1,
an
,


a1



s


an







a1



1,
an
a1
,


s
an


( 1 ,, s) .
直积的基本性质： 1)k(AB)=(kA)B=A(kB),k为常数； 2)分配律(A+B)CACBC,C(A+B)CACB; 3)结合律(AB)CA(BC); 4)吸收律(AB)(CD)(AC)(BD),AC与BD有意义.
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
x y xy
n
例 1： x=(1,2, ,n)TCn,定 义x1 i, xm axi,
i1
1in
A k) ( B 1 B 2
B) ; k
2 ) ( A 1 A 2A k)(B 1 B 2 B k) ( A 1 B 1) (A 2 B 2) (A kB k) ;
范数有以下性质：
命题： 1)x时，x 是范数为一的向量（单位化） ;
x 2) -x = x ; 3)x，yV,有x y xy .
a1



a n
a 1 B a1 (1,
B





a n B an (1,
,s )

, s )
a11,a12

an 1,an 2,
,a1s

,an s
直积
直积的定义与性质
定义：设A=(aij )mn,B=(bij )pq,称分块矩阵
a11B a12B a21B a22B am1B am2B
a12B a2nB
amnBmpnq
为A与B的直积(张量积或Kronecker积).记为AB=(aijB)mpnq.
例 如 ： A=a c d b,B=2 3， 则
推 论 ： 1)(A B) k=Ak Bk,k=1,2,； 2)(A In)(Im B)(Im B)(A In)A B.(乘 法 可 交 换 )
性 质 4 可 推 广 到 一 般 情 形 ：
1 ) ( A 1 B 1 ) ( A 2 B 2) ( A k B k) ( A 1 A 2
2
2
2
2
x22x y y2 x y 2
2
22
2
2
2
所 以x+y x y .
2
2
2
n
1
例 2： 设 1p , x=(1,2, ,n)T C n,定 义 xp( i p)p,
i 1
则 x 是 C n中 的 范 数 .称 为 p-范 数 . p
p = 1 时 ， 为 1 - 范 数 ； p = 2 时 ， 为 2 - 范 数 ； 令 p , 得 -范 数 . 这 三 种 范 数 为 常 见 范 数 .
定义2：设V是有限维线性空间， x,x是V中任意两种 范数，若存在正数k1及k2，使得xV, 都有：
k1 x x k2 x， 称x与x是等价的.
定 理 1 ： 有 限 维 线 性 空 间 中 的 任 何 两 种 范 数 等 价 .
证 明 ： 设 V 是 n 维 线 性 空 间 ， e 1 , ,e n 是 V 的 一 组 基 ， 则 x V ，
定 理 1： 1)两 个 上 三 角 矩 阵 的 直 积 是 上 三 角 阵 ; 2)两 个 对 角 矩 阵 的 直 积 是 对 角 阵 ; 3)InImImInImn.
直 积 具 有 以 下 运 算 规 律 ：
命题1：1)AC DBF=AC FF DB FF;
n
1
x ( 2
i 2)2=
xHx
(x,x),即x 是 由 酉 空 间 Cn 2
i1
中 内 积 诱 导 的 范 数 ,故 由 Cauchy不 定 式 得
x+y2 (xy,xy)(x,x)(x,y)(y,x)(y,y) 2
x22Re(x,y) y2 x22(x,y) y2
n
1
x ( 2
i 2)2,则x1， x及x2均 是 Cn中 的 范 数 .
i1
证 明 ： 不 难 验 证 x， x均 是 范 数 ， 对 于 x， 正 定 性 和
1
2
齐 次 性 显 然 满 足 . 下 证 满 足 三 角 不 定 式 ：
设 x=(1,2, ,n)T,y=(1,2, ,n)TCn.注 意 到
2)设为列向量，且B=(1, ,s),则
B=(1, ,s);
3)设A=(1,
,t )nt，B=(1,
,s
)则 ps
AB=(1 1, ,1 s, ,t 1, ,t s)npts.
注 ： 由 1 ） 2 ） 即 可 得 3 ） ， 下 面 只 证 1 ） 和 2 ） .
证 明 ： 1)由 定 义 得
(aij) (cij)
((d biijj)) F ((a ciijj)) F F((d biijj)) F F A C F FD B F F
2 ) 设 = (a 1 ,, a n )T ,则
2a 2b
2a 2b
AB=a cB B b dB B=3 2 3a cc
2 3 3d b d,BA=3 2A A=3 2 3a cc
2d. 3b 3d
A B ,B A 的 阶 数 相 同 ， 但 一 般 A B B A . 直 积 不 满 足 交 换 律 . 由 直 积 的 定 义 容 易 推 出 以 下 定 理 ：