第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
• 在这些时间路径中，只有一条路径满足家 庭预算约束（以等式成立）和“非负资本” 约束。
• 沿着这条路径，（k,c）将收敛于E点。
第2章（上） 拉姆齐模型
• 所以，对于任意一个初始资本存量k(0)，存 在唯一的c的初始值c(0)，从（ k(0) ， c(0) ） 出发,（ k,c）按照欧拉方程和资本积累方程 描述的动态变化收敛于E，并且满足家庭预 算约束和“非负资本”约束。 • 满足以上条件的所有的（ k(0) ， c(0) ）构 成了“鞍点路径”。从鞍点路径上的任意初 始点出发，（ k,c）将沿鞍点路径最终收敛 于E点。
家庭的效用函数
U e u C t H dt t 0 C t ：人均消费
t
L t
(2.1)
L t ：经济中的总人口 H：家庭数
：贴现率
u ：即期效用函数
第2章（上） 拉姆齐模型
一个特定形式的即期效用函数
1 ：a.相对风险规避系数； u C t C t
第2章 (上) 拉姆齐－卡斯－库普曼斯模型
• 教学目的：理解和掌握拉姆齐模型的具体 内容及其含义。 • 主要内容：1、模型的假定
2、家庭与厂商的行为 3、经济的动态学 4、福利 5、平衡增长路径 6、贴现率下降的影响 7、政府购买的影响与“李嘉图等价”
第2章（上） 拉姆齐模型
1、模型的假定
（1）厂商 －大量相同的竞争性厂商，拥有“新古典生产函数”; －厂商将A视作给定，A的增长率为外生的g; －厂商为家庭所有，因此厂商所得利润归家庭所有。 （2）家庭 －存在大量数目固定（长生不死）的家庭； －家庭每一成员供给1单位劳动，人口增长率外生为n； －家庭的目标是最求“一生效用的最大化”； －家庭的效用函数为…第2章（上） 拉姆齐模型
c t dt k 0 e
t 0

Rt
e
n g t
w t G t dt
(2.39)
或 lim e
s R s
e
n g s
k s 0
资本积累方程：k t f k t c t G t n g k t
E’
k*
第2章（上） 拉姆齐模型
• 政府购买的影响
未预期到的政府购买的永久性增加
结论：（1）经济立刻变化至新的平衡增长 路径上；（2）消费的减少量正好等于政府 购买的增加量；（3）平衡增长路径上的资 本存量与真实利率不受影响。
第2章（上） 拉姆齐模型
• 政府购买的影响
未预期到的政府购买的暂时性增加 相图分析
• 家庭的行为
2、家庭的最大化问题：家庭在预算约束下选择最优 的一生消费路径来最大化其一生效用。 1 t c t Max U B e dt (2.12)
c t

t 0
1
s.t.



t 0
e
Rt
e
n g t
R s
c t dt k 0 e e
第2章（上） 拉姆齐模型
2、家庭与厂商的行为 （1）厂商
（2）家庭
第2章（上） 拉姆齐模型
• 厂商的行为
1、竞争性厂商在每个时点上按照给定的价格 雇用资本和劳动进行生产，以实现利润最 大化（利润为零）；
2、利率和工资为…
第2章（上） 拉姆齐模型
假设无折旧 真实利率：r t f k t (2.3) 每工人工资收入：W t A t f k t k t f k t (2.4)
1
， 0, n 1 g 0
(2.2)
b.边际效用对消费的弹性（的绝对值）； c.任意两个时点的消费之间替代弹性的倒数 ;
当 1，时u C t ln C t
n 1 g 0这一条件保证家庭一生效用不发散;
第2章（上） 拉姆齐模型
4、福利
• 所考察的模型满足“完全竞争市场”的所 有假设，因此“福利经济学第一定理”必 然成立。
第2章（上） 拉姆齐模型
5、平衡增长路径
（1）平衡增长路径的特性 与索洛模型相同； （2）平衡增长路径与黄金律资本存量 拉姆齐模型中，资本存量高于黄金律资本存量是 不可能的； 拉姆齐模型中，经济并不收敛于产生最大的可持 续c的平衡增长路径； 修正的黄金律资本存量。
3、经济的动态学
（1）c的动态学
（2）k的动态学 （3）c的初始值与鞍点路径
第2章（上） 拉姆齐模型
• c的动态学
c t c t f k t g
欧拉方程：


(2.22)
k *满足：c t 0，即f k * g
第2章（上） 拉姆齐模型
6、贴现率下降的影响
（1）定性影响 （2）调整速度与鞍点路径的斜率
第2章（上） 拉姆齐模型
• 贴现率下降的定性影响
贴现率下降影响的相图分析 拉姆齐模型中贴现率下降的影响类似于索 洛模型中当资本存量低于黄金率资本存量 时储蓄率上升的影响。
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
补充：最优控制理论
• 汉密尔顿函数：
其中：μ是“协状态变量”，它代表状态变 量的影子价格。
第2章（上） 拉姆齐模型
补充：最优控制理论
• 一阶条件：
第2章（上） 拉姆齐模型
补充：最优控制理论
• 举例:拉姆齐模型
Max s.t. 1 k t r t n g k t w t c t
第2章（上） 拉姆齐模型
c t 0
E
k t 0
E’
k*
第2章（上） 拉姆齐模型
c t 0
不是最优的情况
E
k t 0
E’
k*
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
• 政府购买的影响
未预期到的政府购买的暂时性增加 结论：暂时性的高政府购买导致真实利率 上升。
第2章（上） 拉姆齐模型
• c的初始值与鞍点路径
欧拉方程： c t c t f k t g

(2.22)
k t f k t c t n g k t
(2.23)
给定任意一个初始资本存量k(0)，满足上述两个方 程的（k,c）的时间路径有以下几种情况…
n g s

Rt
或： e lim
s
k s 0

t 0
e
n g t
w t dt
(2.14)
B A 0
1
L 0 H
, n 1 g
一阶条件为…
第2章（上） 拉姆齐模型
• 家庭一生效用最大化问题的一阶条件
c t c t r t g
(2.38)
第2章（上） 拉姆齐模型
• 注意：欧拉方程没有变化
第2章（上） 拉姆齐模型
• 政府购买的影响
未预期到的政府购买的永久性增加
相图分析
第2章（上） 拉姆齐模型
c t 0
E
k t 0
E’
k*
第2章（上） 拉姆齐模型
c t 0
E
k t 0
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
• 稳态条件：
c t 0 k t 0
或
f k* g c f k n g k
* * *
第2章（上） 拉姆齐模型
• 由稳态条件可知，在拉姆齐模型中，稳态 资本存量小于黄金率资本存量。
k k *时，c k k *时，c
第2章（上） 拉姆齐模型
第2章（上） 拉姆齐模型
• k的动态学
k t f k t c t n g k t (2.23)
使得k t 0的 k , c 满足：c t f k t n g k t
第2章（上） 拉姆齐模型
• 政府购买的影响 考虑政府购买后对模型的修正
假设而非公共投资；政府购买的融资考一 次付清的税收，且政府预算总是平衡的。
模型的修正…
第2章（上） 拉姆齐模型
家庭预算约束： e
t 0

Rt
e
n g t
t 0
U B e k 0 k0
Rt t

t
c t
1
dt
lim e
e
n g t
k t 0
B A 0
1
L 0 H
第2章（上） 拉姆齐模型
, n 1 g
补充：最优控制理论
汉密尔顿函数 : 一介条件 : H t 0: Be c t t c H 0: t t r t n g k lim t k t 0 : lim e
t t Rt
H Be t
c t
t r t n g k t w t c t 1
1


e
n g t
k t 0
( n 1 g )
第2章（上） 拉姆齐模型
• 调整速度与鞍点路径的斜率 在平衡增长路径处的线性近似 鞍点路径的斜率为正 拉姆齐模型中收敛速度比索洛模型快，因 为储蓄率可变。