引言
矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不
等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。
熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。
矩阵A 中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A 的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论.
1. 证明: 设B A ,为两个同阶矩阵,则有r(A ﹢B)≤r(A)﹢r(B)
证 设A =(α1,α
2
,…,
αn
), B =()
ββ
βn
,...,,2
1
则 A +B =(
α1
+β1
,α2
+β
2
,…,
αn
+βn
)
不妨设A 列向量的极大线性无关组为
α1
,α
2
,…,
α
r
. (1≤r ≤n)；
B 列向量的极大线性无关组为β1，β2，…βs . (1≤s ≤n).
则k i i
1
=αα1
+α
2
2
k i +…+
α
r
ir k ;
βi
=β1
1
l i +β
2
2
l i +…+
β
s
is
l ;
则
αi
+β
i
=
k i 1
α1
+α
2
2
k i +…+αr
ir
k +β1
1
l i +β
2
2
l i +…+
β
s
is
l ;
即A +B 的列向量可由
α1
,α
2
,…,
α
r
，
β
1
，
β
2
，…
β
s
线性表出，
故)()()(B +A =+≤B +A r r s r r . 2. 若AB =O ,则)()(B r A r +n ≤.
证 记 ),...,,(2
1
ββ
βn
B =，由AB =O ，知B 的每一列都是O =AX 解,
即O =A
β
i
,i =1,2,…,n
又因O =AX 的基础解系所含向量个数为)(A r n -,
换言之, O =AX 的所有解所构成的向量组的秩为)(A r n -.故≤)(B r )(A r n -, 即)()(B r A r +n ≤.
3.若
E A
=2
， 证明)(E A r ++)(E A r -=n.
证
E A =2
,E
A 2
2
=
,
E A
2
2
-=)(E A -)(E A +O =,
由结论2知r )(E A -+r )(E A +n ≤;
)()(2A E A E E ++-= 再由结论1知 ，
r )(E A -+r )(E A +n E r =≥)2(,
综上所述, )(E A r ++)(E A r -=n.
4 若
A A
=2
证明： )(A r +)(E A r -n =.
证
O A E A A A
=-=-)(2
,由结论2知 )(A r +)(E A r -n ≤.
又因.)(A E A E +-= 知，
).()()()()(A r E A r A r A E r E r +-=+-≤ 即 n ≤)(A r +)(E A r -. 综上所述，)(A r +)(E A r -n =. 5.矩阵=
A )
(a ij sn
,)
(b ij B nm
=
,证明：)(AB r ≥)(A r +)(B r -n .
证 设)(A r =
r
1
,)(B r =r
2
,)(AB r =r
则存在可逆矩阵
P ss
,Q
nn
使
PAQ =⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛O O O E 1. 及 B Q 1-=()⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛⨯-⨯B B m n m r r 1. 故)(AB r =⎪⎭
⎫
⎝
⎛∙-B Q
PAQ r 1
B Q PAQ 1-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E 1
()
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-
⨯B B m n m
r r 1
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⨯O r B m 1.
则)(AB r =⎪⎭
⎫
⎝
⎛∙-B Q
PAQ r 1
=()B m
r r ⨯1
=r .
因r ()⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⨯-⨯B B m n m r r 1=)(B r =r 2 则(
)B m
n r ⨯-
1中还有
r
r -2
个线性无关行向量,
故
r r -2
≤r n 1-
则
r r
r ≤-+2
1
,即)(AB r ≥)(A r +)(B r -n .
6.设
A
*
为
A
的伴随矩阵，则伴随矩阵
A *
的秩为：
)(*
A r =⎪⎩
⎪⎨⎧-<-==1)(,01)(,1)(,n A r n A r n A r n
证 若)(A r =n 时,即A
可逆,因
E
A A A =∙*
，
则有
A A
A 1
*
-∙=
,故)(*
A r =n r A =-)(1
.
若1)(-=n A r 时,0=A , E
A A A =∙*
=O ,
由结论2知)(*
A r +)(A r n ≤，
即 )(*
A r ≤-n )(A r =1.也就是)(*
A r =0,或 )(*
A r =1. 假设)(*
A r =0,则A 的所有1-n 阶子式为0, 这与)(A r =1-n 矛盾.
故)(
*
A r =1.
若当)(A r <1-n 时，则A 的所有1-n 阶子式全为0，
则
O A =*
,即)(*
A r =0.
故上述结论 )(*
A r =⎪⎩
⎪⎨⎧-<-==1)(,01)(,1)(,n A r n A r n A r n 成立。
7.（秩的降阶定理）设⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=D C
B A
M , ⑴若A 是r 阶可逆矩阵，则)()()(1
B C D r A r M r A
--+=. ⑵若D 是s 阶可逆矩阵，则)()()(1
C B A r
D r M r D
--+=
⑶若D A ,都可逆，则)()()()(1
1
C B A r A r
D r B C
D r D A
---+-=-.
证 ⑴若A 是r 阶可逆矩阵，则存在A
1
-.
对矩阵M 两边做初等变换,即有
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----B C D O O A O B D C B A C O A E A E E A E ss rr ss rr 111
. 初等变换不改变矩阵的秩, 故 )()()(1
B C D r A r M r A
--+=.
⑵若
D
ss
可逆,则D
1
-存在,对M 两边做初等变换,
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----D O O C B A C O D C B A O B D E D E E D E ss rr ss rr 111
. 初等变换不改变矩阵的秩, 故 )()()(1
C B
A r D r M r D
--+=.
⑶若D A ,都可逆,则根据⑴,⑵的结论有:
)()()()(1
1
C B A r
D r B C
D r A r D A
---+=-+，
整理可得，)()()()(1
1
C B A r A r
D r B C D r D A
---+-=-.
参考文献
【1】张禾瑞,郝鈵新.高等代数[]M.第五版.北京:高等教育出版社,2007.
【2】王萼芳,石生明.高等代数[]M.第三版.北京:高等教育出版社,2003.
【3】徐仲,陆全等.高等代数(北大.第三版)导教∙导学∙导考.西安:西安工业大学出版社,2006.。