周期问题一、知要点周期是指事物在运化的展程中，某些特征循往复出，其两次出所的叫做周期。

在数学上，不有研究周期象的分支，而且平解也常常碰到与周期象有关的。

些数学只要我展某种周期象，并充分加以利用，把要求的和某一周期的等式相，就能找到解关。

二、精精【例 1】流水上生小木球涂色的次序是：先 5 个，再 4 个黄，再 3 个，再 2 个黑，再 1 个白，然后又依次 5 、 4 黄、 3 、2 黑、 1 白⋯⋯如此涂下去，到 2001 个小球涂什么色？【思路航】根据意可知，小木球涂色的次序是 5 、 4 黄、 3 、 2 黑、 1 白，即5＋4＋3＋2＋1=15 个球一个周期，不断循。

因 2001÷15=133⋯⋯ 6，也就是 133 个周期余 6 个，每个周期中第 6 个是黄的，所以第 2001 个球涂黄色。

1：1. 跑道上的彩旗按“三面、两面、一面黄”的律插下去，第50 面插什么色？2. 有一串珠子，按 4 个的， 3 个白的， 2 个黑的序重复排列，第160 个是什么色？3.1/7=0.142857142857 ⋯⋯，小数点后面第100 个数字是多少？- 1 -【例 2】有 47 灯，按二灯、四灯、三黄灯的序排列着。

最后一灯是什么色的？三种色的灯各占数的几分之几？【思路航】（ 1）我把二灯、四灯、三黄灯 9 灯看作一， 47÷ 9=5 （）⋯⋯ 2（），余下的两是第 6 的前两灯，是灯，所以最后一灯是灯；（2）由于 47÷ 9=5（）⋯⋯ 2（），所以灯共有 2×5＋2=12（），占数的 12/47 ；灯共有4×5=20（），占数的 20/47 ；黄灯共有 3×5=15（），占数的 15/47 。

2：1.有 68 面彩旗，按二面的、一面的、三面黄的排列着，些彩旗中，旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共 2000 ，按律排列着：○●○○○●○○○●○○⋯⋯，第2000珠子是什么色的？其中，黑珠共有多少？3.在 100 米的跑道两每隔 2 米站着一个同学。

些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的律站立着。

些同学中共有多少个女生？【例 3】 2001 年 10 月 1 日是星期一，那么， 2002 年 1 月 1 日是星期几？【思路航】一个星期是 7 天，因此 7 天一个周期。

10 月 1 日是星期一，是第一个周期的第一天，再 7 天即 10 月 8 日也是星期一。

算天数了方便，我采用“算尾不算”的方法，例如 10 月 8 日就用（ 8－1）÷ 7=1. 没有余数明 8 号仍是星期一。

中从 2001 年 10 月 1 日到 2002 年1 月 1 日，要 92 天， 92÷7=13⋯⋯ 1. 余 1 天就是从星期一往后数一天，即星期二。

- 2 -3：1.2002 年 1 月 1 日是星期二， 2002 年的六月一日是星期几？2.如果今天是星期五，再 80 天是星期几？3.以今天准，算一算今年自己的生日是星期几？【例 4】将奇数如下排列，各列分用 A、B、C、D、E 代表，： 2001 所在的列以哪个字母 A B C D E代表？ 1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25⋯⋯⋯⋯【思路航】列数按每 8 个数一有律排列⋯⋯⋯⋯着。

2001 是一列数中的第 1001 个数， 1001÷8=125⋯⋯ 1. 即 2001 是列数中第 126 的第一个数，所以它所在的那一列是以字母 B 代表的。

4：1.将偶数 2、4、6、8、⋯⋯按下依次排列， 2014 出在哪一列？2.把自然数按下列律排列， 865 排在哪一列？A B C D E A B C D8 6 4 2 1 2 310 12 14 16 6 5 424 22 20 18 7 8 926 28 30 32 12 11 10- 3 -⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【例 5】 888 ⋯⋯ 8[100 个 8] ÷ 7，当商是整数，余数是几？【思路航】从式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、2、0 不断重复出。

我可以用100 除以 6，察余数就知道所求了。

100÷ 6=16⋯⋯ 4 余数是 4 明当商是整数，余数是1、 4、6、5、2、0 中的第 4 个数，即 5。

5：1.444 ⋯⋯ 4[100 个 4] ÷3 当商是整数，余数是几？2.444 ⋯⋯ 4[100 个 4] ÷6 当商是整数，余数是几？- 4 -课后作业思考题- 5 -第 12 讲盈亏问题一、知识要点盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。

例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分 3 块，多 12 块；如果每人分 4 块，少 8 块。

小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。

盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类： 1. 两盈：两次分配都有多余； 2. 两不足：两次分配都不够； 3. 盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。

一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。

解题时我们可以记住：1. “两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；2. “两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；3. “一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。

二、精讲精练【例题 1】某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。

乒乓球队共有多少名学生？【思路导航】（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男生多 2 人；（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多 2＋2=4 人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有 4×2=8 人。

原来女生有 8－ 1=7 人，男生有 7 －2=5人，共有 7＋ 5=12 人。

练习 1：1. 学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10 盒，彩色粉笔增加8 盒，两种粉笔就同样多；如果再买 10 盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的 5 倍。

学校买来两种粉笔各多少盒？2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加 80 吨，乙堆增加 25 吨，则两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走 5 吨，剩下的乙堆正好是甲堆的 3 倍。

两堆货物一共有多少吨？【例题 2】幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。

如果平均分给小朋友，则少 4 个；如果每个小朋友只发给 4 个，则老师自己也能留下 4 个。

有多少个小朋友？共有多少个苹果？- 6 -【思路导航】如果平均分给小朋友，则少 4 个，说明小朋友人数大于 4；如果每个小朋友只发给 4 个，则教师也能留下 4 个，说明每人少拿若干个，就少拿 4＋4=8 个苹果。

因为小朋友人数大于 4，所以，一定是每人少拿 1 个，有 8÷1=8 个小朋友，有 8× 4＋ 4=36 个苹果。

练习 2：1. 给小朋友分梨，如果每人分 4 个，则多 9 个；如果每人分 5 个，则少 6 个。

有多少个小朋友？有多少个梨？2.老把一些铅笔奖给三好学生。

每人 5 支则多 4 支，每人 7 支则少 4 支。

老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？【例题 3】幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。

如果分给大班的学生每人 5 个余 10 个；如果分给小班的学生每人8 个缺 2 个。

已知大班比小班多 3 人，这筐苹果有多少个？【思路导航】如果大班减少 3 人，则大班和小班的人数同样多。

这样，大班每人 5 个就多余 3×5＋10=25 个。

由于两班人数相等，小班每人多分 3 个就要多分（ 25＋2）个苹果，用（ 25＋2）÷（ 8－ 5）就能得到小班同学的人数是9 人，再用 9× 8－2 就求出了这筐苹果有多少个。

练习 3：1.一些学生搬一批砖，每人搬 4 块，其中 5 人要搬两次；如果每人搬 5 块，就有两人没有砖可搬。

这些学生有多少人？这批砖有多少块？2.老师给幼儿园小朋友分糖，每人 3 块还多 10 块；如果减少 2 个小朋友再分，每人 4 块还多 7 块。

原来有多少个小朋友？有多少块糖？【例题 4】幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得 6 块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得 4 块。

如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得 6 块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分 4 块。

说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5 倍。

因此，这箱饼干分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5=9 块，一共可分到6＋9=15 块饼干。

练习 4：1. 老师把一批书借给甲组同学，平均每人借 4 本。

如果只借给甲组的女同学，每人可借 6 本。

如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本？- 7 -2.甲、乙两组同学做红花，每人做8 朵，正好送给五年级每个同学一朵。

如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做 4 朵。

如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？【例题 5】全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐 9 个同学；如果增加一条船，每条船正好坐 6 个同学。

这个班有多少个同学？【思路导航】根据题意可知：每船坐 9 人，就能减少一条船，也就是少 9 个同学；每船坐 6 人，就要增加一条船，也就是多出 6 个同学。

因此，每船坐9 人比每船坐 6 人可多坐9＋6=15 人， 15 里面包含 5 个（ 9－ 6），说明有 5 条船。

知道了有 5 条船，就可以求全班人数： 9×（ 5－1）=36 人。

练习 5：1. 老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5 个；如果增加一个同学，正好每人分得 4 个。

这篮苹果一共有多少个？2.五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐 7 人；如果减少一只船，正好每只船上价 8 人。

五年级共有多少人？课后作业- 8 -思考题- 9 -第 13 讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。