构造中位线 巧解圆锥曲线题
徐志平 （浙江金华一中 321000）
在求一些与圆锥曲线有关的题目时，通常需要先构造出三角形或梯形的中位线，然后借助中位线的性质定理来求解，现举例加以分析说明。
1．求点的坐标
例1. 椭圆13
122
2=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。
如果线段1PF 的
中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ ）
A. 43±
B. 2
2± C. 23
± D. 43± M 的坐标，只需先求点P 的坐标即可。
连接PF 2，由于M 是PF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，
所以MO 是21F PF ∆的中位线，又轴x MO ⊥，则有 轴x PF PF MO ⊥22,//，3312=-=P x
2
3±=，43±=∴M
y ，故选（D ）。
例2．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线y 2
=x 上移动，记线段AB 的中点
为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。
分析：利用抛物线的定义，结合梯形的中位线性质 定理可以解决问题。
解：抛物线的焦点)0,41(F ，准线 方程：41
-=x ，上分别作点A 、B 、M 的射影A 1、B 1、M 1，则由MM 1
是梯形AA 1B 1B )(21
)(21111BF AF BB AA MM +=+=
，在ABF ∆可以取等号）
通径∴>≥+AB AB BF AF (，2
211=≥AB MM ∴M 到y 轴的最短距离=。
4
5
4123=-即45=M x 。
∴显然这时弦AB 过焦点），（04
1F 。
设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则有12
1x y = ① 22
2x y = ②，①-②得M
y x x y y x x y y y y 21))((2121212121=--⇒-=-+
M
AB y k 21
=
∴，又MF AB k k =，2
14145(21214
12
=-=⇒=
-
∴M M M M y y x y 22±
=∴M y ，即M 的坐标为)22
,45(或)22,45(- 以上两题的解法较多，以上给出的解法最为简洁。
在解题中要善于运用圆锥曲线的定义，并注意构造三角形与梯形的中位线，挖掘题目中隐含的几何性质，可使解题简明快捷，少走弯路。
2．求轨迹方程
例3．已知两个同心圆，其半径分别为R 、r(R>r>0)，AB 为小圆的一条直径，求以大圆切线 为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 的轨迹方程。
分析：该题中A 、B 与准线之间的关系，可借助于抛物线的定义解决。
解：以小圆的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心为坐 标原点建立平面直角坐标系（如图）。
则A(-r,0)、 B(r,0)，设Q 为大圆上的任一点， 为过点Q 的切线， 设抛物线的焦点F(x,y)，作 ⊥AC 于C ， ⊥BD 于D 由抛物线定义得：,,BD BF AC AF ==连接OQ ，在梯形ACDB 中，OQ 是中位线， R OQ BD AC BF AF 22==+=+∴,∴点F 到定点A 、B 的距离之和为定值2R ，由于∴=>r AB R 22点F 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆。
且a=R,c=r ,222r R b -=∴，其方程为：)0(12
22
22
≠=-+
y r R y R
x 。
本题借助于抛物线的定义建立关系，同时还要利用梯形的中位线进行过渡是关键。
解题时要注意建立合理的直角坐标系，还要注意轨迹的完备性和纯粹性。
3．判断直线与圆的位置关系
例4．设AB 是过椭圆左焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的坐准线
（ ）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 相交或相离
分析：要判断直线与圆的位置关系，只需比较
圆心到直线的距离与圆半径的大小即可。
解：设椭圆的左焦点为F ，离心率为e （0<e<1）设以AB 为直径的圆心为M ，半径为r ，在左准线 上分别作点A 、B 、M 的投影为A 1、B 1、M 1
由于MM 1是梯形AA 1B 1B 的中位线，又有由椭圆的第二定义
知：e
BF B B e AF A A =
=11,，r e r e AB B B A A MM A >==+=∴2)(21
11. 即以AB 为直径的圆必与椭圆的坐准线相离。
故答案选（ C ）。
例5．设P 为抛物线)0(22>=P px y 上任一点，F 为其焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴的位置关系是 （ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 由点P 的位置确定
分析：同例4。
解：设以PF 为直径的圆心为A ，半径为r ，则r PF 2=
在准线 ：2
p
x -=上分别作点P 、A 的投影为P 1、A 1，
PP 1、AA 1分别交y 轴分别为P 2、A 2，则由抛物线的定义 知.,21p KF r PP ==由于AA 1是梯形KFPP 1的中位线，
22)(21
11p r P P KF AA +=+=，r p p r AA =-+=∴2
222，即以PF 为直径的圆与
y 轴相切。
故答案选（ B ）。
以上两题也可以用代数方法来做，但上述解法避免了要设出点的坐标，只要利用梯形的中位线以及直线与圆的位置关系来判断即可，解题思路清晰、明快。
4．判断两圆的位置关系
例6．已知点P 是椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）上的任意一点，21,F F 分别是左
右焦点。
求证：以PF 2为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切。
两圆的圆心距即可。
解：设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r 为直径的圆的圆心为O ，半径为a,因为
,2,2221r PF a PF PF ==+所以由椭圆的定义知
,221r a PF -=连接OA ，则OA 是21F PF ∆的中位线，由三角形的中位线的
性质定理，知.2
11r a PF OA -==故以PF 2为直径的圆必与以椭圆长轴为直径
的圆相内切。
例7．已知点P 是双曲线122
22=-b
y a x 上的任意一点，2F 是它的右焦点。
则以
PF 2为直径的圆与圆O ：222a y x =+ 的位置关系是 （ ） A. 内切 B. 外切 C. 外切或内切 D. 无公共点或相交 两圆半径的和、差关系即可。
解：（1）若点P 在双曲线右支上时，连接PF 1，设以为直径的圆心为A ，半径为r ，即r PF 22=，连接OA ， 则根据双曲线的定义有：r a PF 221+=，圆O 的半径为a ，由于OA 是21F PF ∆的中位线，所以r a PF OA +==
2
1
， 故以PF 2为直径的圆与圆O ：222a y x =+相外切。
（2）若点P 在双曲线左支上时，同理易得a r OA -=，故以PF 2为直径的圆与圆O ：222a y x =+相内切。
综上（1）（2）知，答案选（ C ）。
以上两题分别运用椭圆与双曲线的定义，然后结合三角形中位线的性质定理使题得解，这种运用平面几何的结论简化解析几何中的代数计算的技巧常常要用到。
解圆锥曲线题时，除了要充分利用圆锥曲线的定义，有时还要注意联系题目中的条件与焦点以及准线的关系，构造出三角形或梯形的中位线，利用中位线的性质定理，可以大大减少烦琐的代数运算，突出“形”的作用，真正实现数形结合。