u
dy
将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动,得出
yz zy zx xz xy yx


u z y

u y z u z x u x y

u x z u y x


（4—6）

3．粘性流体运动微分方程
g
2g
p g
表示理想流体的恒定流动，沿同一元流(沿同一流线)各断式 (4—23)则面的总水头相等．理想流体的水头线是水平线
图4—2水头线
3.几何意义
各项的几何意义是不同的几何高度：z是位臵高度， 测压管 高度。总结如下：
p
式中o点的压强水头，由另—根测压管量测， 于是测速管和测压管中液面的高度差,就是A 点的流速水头，该点的流速：
第二个角标表示应力的方向，则法向应力
p xx p yy p zz 进—步研究证明，任一点任意三个正交面上的法向应力之和 都不变，即
pxx p yy pzz p p p
据此，在粘性流体中，把某点三个正文面上的法向应力的平 均值定义为该点的动压强以p表示：
1 p pxx p yy pzz 3
1)。设六面体的中心点o‘，速度压强ｐ，分析该微
小六面体ｘ方向的受力和运动情况。
1.表面力：理想流体内不存在切应力．只有压强ｘ方
向受压面(abcd面和a‘b’c‘d’面)形心点
图4—1连续性微分方程
的压强为：
pM p
1 p 2 x
dx
pN p
1 p 2 x
dx
受压面上的压力为： PM p M dydz
PN p N dydz
质量力： FBx Xdxdydz
由牛顿第二定律
[( p
1 p 2 x
F
1 p 2 x
x
m
du x dt
得：
dx ) -( p
du x ) ] dydz + Xdxdydz dx dxdydz dt
化简得： X
1 Y 1 Z
p1
——理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分，
由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线的伯努利方 程就 是元流的伯努利方程。推导该方程引入的限定条件， 就是理想流体元流伯努利方程的应用条件，归纳起来有：理 想流体；恒定流动；质量力中只有重力；沿元流(流线)；不 可压缩流体。
1.物理意义式
式子中的前两项 分别是单位重量流体具有的比位能压能或比势能；单位重 量流体具有的动能。 2
[例4—1] 理想流体速度场为 ux ay, uy bx, uz 0, a, b 为常数。试求：（1）流动是否可能实现；（2）流线方程；（3）等 压面方程(质量力忽略不计) ux uy uz [解] (1)由连续性微分方程 0
x y z
满足连续性条件，流动是可能实现的。 (2)由流线方程 dx dy 得：
采用类似于推导理想流体运动微分方程式（4—1）的方 法，取微小平行 六面体，根据牛顿第二定律建立以应力 (包 括切应力 ) 表示的运动微分方程式，并以式 (4—5) 、式 (4—6) 代人整理，使得到粘性液体运动微分方程：
u y u x u x u z 2 1 p X x u x t u x x u y y u z z u y u y u y u y 1 p 2 Y y u y t u x x u y y u z z 1 p u z u z u z u z 2 Z z u z t u x x u y y u z z
用矢量表示为
f p u
1 2 u t
u u

（4—8）
式中：
2
2 x 2

2 y 2

2 z 2
——拉普拉斯算子。
——粘性流体运动微分方程，又称为纳维— 斯托克斯方程(简写为N—S方程)。
N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力(压力 和粘性力) 的相平衡。由N—S方程式和连续性微分方程式组成的 基本方程组，原则上可以求解速度场和压强场p,可以说粘性流体的 运动分析，归结为对N—S方程的研究。
当阀门关闭时，根据压强计的读数， 应用流体静力学基本方程
pa p a 0.6 p a V22 H 0 0 g g 2g
pa gH pa 2 .8 pa ，
求出Ｈ值：
H 2.8 pa 2.8 98060 28m H2 O g 9806
图4—5

1

p x
dx
p y
dy
duy
p z
dz dp d
1

p px, y, z
p


③.恒定流流线与迹线重合：dx=uxdt，dy=uydt，dz=uzdt 则
2 2 2 u u u dux duz x y z dx dy dz d dt dt dt 2
dx dy ay bx
ux

uy
bxdx aydy
积分得流线方程 bx ay c a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。 (3)由欧拉运动微分方程式，不计质量力：
2 2
1 1
p x
p y
u x uy abx y u y ux aby x
1 p x p y p z

du x dt du y dt du z dt
（4—1）
用矢量表示为：
将加速度项展成欧拉法表达式 : u x u x u x u x 1 p X x t u x x u y y u z z u y u y u y u y 1 p Y y t u x x u y y u z z u z u z u z u z 1 p Z z t u x x u y y u z z
第二节 元流的伯努利方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分 理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有 特 定 条 件 下 的 积 分 ， 其 中 最 为 著 名 的 是 伯 努 利 (Daniel Bernoull，1700～1782，瑞士科学家)积分。
u y u x u z 1 p X x u x x u y y u z z u y u y u y 1 p Y y u x x u y y u z z u z u z u z 1 p Z z u x x u y y u z z
第四章 流体动力学基础
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 流体的运动微分方程 元流的伯努利方程 总流的伯努利方程 总流的动量方程 理想流体的无旋流动
第一节 流体的运动微分方程
一、理想流体运动微分方程
在运动的理想流体中，取微小平行六面体(质点)，
正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行于x,y,z坐标轴(图4—
（4—10）
由理想流体运动微分方程式
du x 1 p X x dt du y 1 p Y y dt du z 1 p Z z dt
各式分别乘以沿流线的坐标增量dx，dy，dz，然后相加得：
( Xdx Ydy Zdz)
1 f p u t
（4—2）
u u


（4—3）
上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动 微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是 控制理想流体运动的基本方程式。 1755年欧拉在所著的《流体运动的基本原理》中 建立了欧拉运动微分方程式，及上一节所述的连续性 微分方程式。对于理想流体的运动，含 ux, uy, uz 有和 ｐ四个未知量，由式(3—30)和式(3—36)组成的基本方 程组，满足未知量和方程式数目一致，流动可以求解。 因此说，欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠定了 理想流体动力学的理论基础。
1 p p ( dx dy) ab( xdx ydy) x y 1 dp ab( xdx ydy)
将方程组化为全微分形式:
积分，得
x2 y2 p ab c' 2
令p=常数 即得等压面方程
x y c
2 2
等压面是以坐标原点为中心的圆。
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p x

dx dy dz
p y
p z

、
1.引人限定条件： ①．作用在流体上的质量力只有重力：X=Y=0,Z=-g;
( Xdx Ydy Zdz) gdz
②.不可压缩，恒定流： C ,
p' p u 2g 2 gh0 （4—27） g
根据上述原理，将测速管和测风管组合 成测量点流速的仪器，图4—4所示，与迎流 孔(测速孔)相通的是测速管，与侧面顺流孔 （测压孔或环形窄缝）相通的是测压管。考 虑到粘性流体从迎流孔至顺流孔存在粘性效 应，以及皮托管队员流场的干扰等影响，引 用修正系数C：
相加带入后得：
( Xdx Ydy Zdz)
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p x

dx dy dz
p y
p z

gz
p g

u2 2
C
z
p
u2 2g
C
2 u12 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
u C 2g p' p C 2 gh0 g
图4—4 毕托管构造
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