第五张 刚体力学平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受到创造的乐趣.走过这遭,也许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.【要点分析与总结】1 刚体的运动（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A 为基点）A r υυω'=+⨯()()A d r a a r dtωωω'⨯'=++⨯⨯（2）刚体内的瞬心S ：()21s A A r r ωυω=+⨯〈析〉ω为基点转动的矢量和，12ωωω=++A r r r '=+dr dt υ=*A A A dr dr d r r r dt dt dtυωυω''''=+=++⨯=+⨯()A d r d d a dt dt dtωυυ'⨯==++()r ωω'⨯⨯值得注意的是：有转动时r ' 与r ω'⨯ 的微分，引入了r ω'⨯与()r ωω'⨯⨯项。
2 刚体的动量，角动量，动能（1）动量：c P m υ=（2）角动量： x x xxxy xz i i i y yxyy yz y zx zyzz z z L J J J L r m L J J J J J J J L ωυωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=⨯===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑式中：转动惯量()()()222222xx yy zz J y z dmJ z x dm J x y dm ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩⎰⎰⎰惯量积xx yy zz J xydm J yzdm J zxdm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰且c c c L r mL υ'=⨯+* l e方向（以l 为轴）的转动惯量：(),,l l J e J e J ααβγβγ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭222222xx yy zz yz zx xy J J J J J J αβγβγγααβ=++---（,,αβγ分别为l e与,,x y z 轴夹角的余弦） * 惯量主轴惯量主轴可以是对称轴或对称面的法线若X 轴为惯量主轴，则含X 的惯量积为0，即: 0==xy xz J J若,,x y z 轴均为惯量主轴，则:xx yy zz L J i J j J k =++〈析〉建立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，这样会降低解题繁度。
(3) 动能：22211112222c i i c c iT m m m J υυυωω'=+=+∑* 定轴转动时: 212T J ω=* 平面平行运动: 221122c c T m J υω=+3刚体的动力学方程与质点动力学方程相同。
〈析〉求角动量L时，须注意：L J ω=x y z J ωωω⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()()xx x xy y xz z yx x yy y yz z zx x zy y zz z J J J iJ J J j J J J kωωωωωωωωω=--+-+-+--+4 刚体的定轴转动:ω =z e ω =ϕz eL J ω= =zx J -ωi yz J -ωj zz J +ωk212T J ω=质心定理: ()22e c d r m F dt =角动量定理:()e dLM dt=〈析〉须注意外力与外力矩包括轴对物体作用 5 刚体的平面平行运动 212c T m υ=+212J ω m c d F dt υ=z dLdt=J ϕ =z M 6 刚体的定点运动（1） 基本方程（以惯量主轴为坐标轴）L J ω==x L i +y L j +z L kdL dt =d Ldt* +Ω⨯ L =x L i +y L j+z L k +Ω⨯ L =M质心定理： 22c d r m dt=c mr =F 机械能守恒：12()222xx x yy y zz z J J J ωωω++V +E = 〈析〉 Ω为活动坐标系绕固定坐标系的转速则有：di i dt=Ω⨯如：()x x d L i dL dt dt=x x dL dii L dt dt=+x x L i L i =+Ω⨯ x x L i L =+Ω⨯（2）欧拉方程（活动坐标系随刚体自旋）dL dt =d Ldt*+L Ω⨯ =M 写成分量形式：()()()x x y z y z x y y z x z x y z z x y x y z J J J M J J J M J J J M ⎧Ω--ΩΩ=⎪⎪Ω--ΩΩ=⎨⎪Ω--ΩΩ=⎪⎩ 〈析〉0M =时，z zJ Ω 0=可导出 z const εΩ==可以解释地球的纬度变迁。
（3）对称重陀螺的定点运动（活动坐标系不随刚体自旋） 三个角速度：自旋： k ψ进动： e ζϕ章动： i θ总角速度：i e k ζωθϕψ=++()sin cos i j k θϕθϕθψ=+++即 sin cos x y z ωθωϕθωϕθψ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩ 由于对称；x J =y J =J *代入 dL dt =d Ldt* +L Ω⨯=M =()lk mge ζ⨯-sin mgl i θ=可得：cos sin sin cos 00x x x y z z y x x z z z z J J J mgl J J J J ωωϕθωϕθθωωϕθωθω*-+=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩ 代入： ()sin cos i j k ωθϕθϕθψ=+++可整理出；cos ϕθψ+ ε=()2222sin cos 22z J Jmgl E θϕθεθ*+++= 22sin cos z J J S ϕθεθ*+= ()2222cos cos 22sin 2z zs J J J E mgl J εθθεθθ**⎡⎤-=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()22J U θθ*=+〈析〉可以用势函数()U θ来判断进动的规则性，如：规则进动时，()()220,0dU d U d d θθθθ=>另外，也可用S 来判断，（其实更简单）。
规则进动时：0ϕ> [解题演示]1． 一长为l 的棒AB ，靠在半径为r 的半圆形柱面上，如图所示。
今A 点以恒定速度0υ 沿水平线运动。
试求:(1)B 点的速度B υ;(2)画出棒的瞬时转动中心的位置.解：如右图所示建立坐标系xoy ，依图知:02cos ()sin sin A d r r r i i i dt θθυθθ=== 得: 2sin cos r υθθθ=B A BA k r υυθ=+⨯2003200sin (cos sin )cos sin sin (1)cos i k l i l j r l l i jr rυθυθθθθθυυθ=+⨯-+=-- 瞬心S 满足： 21()S A A r r ωυω=+⨯0221()sin cos sin sin r i k i r r i j θυθθθθθ=+⨯=+如上图所示.2． 一轮的半径为r ，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒定速度0υ前进。
求轮缘上任一点（该点处的轮辐与水平线成θ角）的速度和加速度。
解：如右图所示建立坐标系xoy , 则:0,()()C A C i k rj υυυυθ==+-⨯-得：0rυθ=故：()(cos sin )B C k r i r j υυθθθ=+-⨯+00(1sin )cos i j υθυθ=+-()B C BC BCa a r r ωωω=+⨯+⨯⨯2000()[()(cos sin )](cos sin )k k r i r j i j rθθθθυθθ=++-⨯-⨯+=-+3． 半径为r 的圆柱夹在两块相互平等的平板A 和B 之间，两板分别以速度1υ和2υ反向运动，见图。
若圆柱和两板间无相对滑动，求（1）圆柱瞬心位置；（2）圆柱与板的接触点M 的加速度。
解：如右图所示建立坐标系xoy ，设瞬心在S 点。
2212(2)M N MN r i k rj r i i υυωυωυωυ=+⨯=-+⨯=-+=得：12()2rυυω+=-（1）1211212122()1()()S M r r r r rj j j υυυωυωυυυυ-=+⨯=+-=++（2）1121122()()()2M S MS MS r a a r r k k j j rυυυυωωωωωυυ+=+⨯+⨯⨯=⨯⨯=-+ 4． 高为h ，顶角为2α的圆锥，在一平面上无滑动的滚动。
已知圆锥轴线以恒定角速度Ω绕过顶点的铅直顽固不化转动。
求（1）圆锥的角速度；（2）锥体底面上最高点的速度；（3）圆锥的角加速度。
解：如右图所示建立坐标系oxyz ，并取定OABC 点。
（1）(cos sin )A O k h j h k υυαα=+Ω⨯+0cos sin 0sin B h ij h k h iαυωαωα=-Ω=+⨯=+得：cot j ωα=-Ω（2）sin 2(cos 2cos )cos cos BC h h r k h j ααααα=+-2sin tan sin h k h j ααα=-则：A B BA r υυω=+⨯0(cot )(2sin tan sin )2cos j h k h j h iααααα=+-Ω⨯-=-Ω（3）2cot cot ()cot d dj k j i dt dtωααα=-Ω=-ΩΩ⨯=Ω5． 在一半径为R 的球队体上置一半径为r 的较小的球，它们的连心线OO '与竖直轴间保持α角，如图。
若OO '绕竖直轴以恒定的角速度ω转动，小球在大球上无滑动地滚动。
分别求出小球最高点A 和最低点B 的速度.解：如右图所示建立坐标系o xyz '，则有：(sin cos )i k ωωαα=-+设O '球的转动速度为：i ωω'=则有:()(sin )O C rk rk υυωωωωα''=++⨯=--又有:(sin cos )()O O i k R r k υυωαα'=+-+⨯+(sin )R r j ωα=+得:sin R i r ωαω'=-则:(sin cos )A O r i r k υυωαα''=+⨯-+()sin sin cos sin [(1cos )]R r j R jR r jωαωααωαα=++=++(sin cos )B O r i r k υυωαα''=+⨯-()sin sin cos sin [(1cos )]R r j R jR r jωαωααωαα=+-=-+6． 一边长为d ，质量为m 的匀质立方体，分别求出该立方体对过顶点的棱边，面对角线和体对角线的转动惯量,p f J J 和b J . 解：如右图所示，取三条对称轴建立坐标系oxyz .依对称性知:42222222233222()()126d d d d d d x y z m m d md J J J x y dxdy d y dy d d ---===+=+=⎰⎰⎰ 再依平行轴定理:221223p x J J md md =+=22211152241211113336f x y b x y z x J J J md md J J J J J md =++==++==7． 一匀质等边三角形的薄板，边长为l 。