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理论力学答案完整版(清华大学出版社)1
第一章 力和约束
本章要点:
一、 三个概念:力、力矩和力偶 1 力: 力的定义、力的三要素、集中力、分布力;
力的投影:直接投影法和二次投影法;力在平行轴上的投影都相等; 力的合成:平行四边形法则、三角形法则、多边形法则; 合力投影定理 2 力矩:力对点之矩的定义、力对点之矩的三要素、对点的合力矩定理; 力对轴之矩的定义、力对轴之矩和对点之矩的关系、对轴的合力矩定理; 3 力偶:力偶的定义、力偶的三要素、力偶的等效条件; 力偶系的合力偶等于分力偶的矢量和.
解:ξ 轴与 y 轴的交点为 B,合力对 B 点的力矩为 M B = FRx 3k − FRz 3i ;
ξ 轴方向的单位向量为:ξˆ = 1 (3i − 2k )。
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利用力对点吱矩与力对轴之矩的关系有:
Mξ = M B ⋅ξˆ = −513.4 (N) 。
1-4 图示平面 Π 在各坐标轴上的截矩分别为 a,b, c ,且 a = b 。计算图示力 F 和力偶 M
解:(a)图示三铰拱,BC 半拱为二力构件,约束力一定是沿 BC 连线作用,铰链 A 处的约 束力方向由三力平衡汇交定理确定。
题 1-7(a)图 (b)图示三铰拱,铰链 A、B 和 C 三处的约束力方向都不能确定,因此用两个分力力表示。
3
题 1-7(b)图 (c)图示三铰拱,BC 半拱为二力构件,约束力一定是沿 BC 连线作用,AC 半拱上除约束 力外仅有力偶作用,因力偶只能与力偶平衡,因此 A、C 处的约束力必互相平行并组成力偶。
题 1-9(d力的大小为:
其中: cosϕ1
=
3 13 13
, cosγ 2
=
22 11
;ϕ2
=
45o
。
FR = FR2x + FR2y + FR2z = 645 (N) ;
方向余弦为:
cosα = FRx = 0.172 , cos β = FRy = 0.932 , cosγ = FRz = 0.319
二、五种约束 柔索约束、光滑面约束、光滑铰链约束、辊轴约束、固定端约束. 约束力的方向总是与约束所能阻碍的运动方向相反.,大小未知.
三、受力分析与受力图
解题要领:
1 用合力投影定理计算汇交力系的合力; 2 用合力矩定理计算力对点(轴)的力矩,也可以用力对轴之矩和对点之矩的关系计算力
对轴之矩。 3 画受力图先明确研究对象,取分离体,画出主动力后在根据约束的性质画出约束力,注
Mτ
= M ⋅τ
=
rAB
abc b2 + c2
F
1-6 试画出图示物体的受力图。除注明的外,物体的自重都不计。
解:分别以指定的物体为研究对象,解除物体所受的全部约束,根据约束的性质画上约束力, 如图示。
(a) (e)
(b)
((cf)) 题 1-6 图
(d) (g)
1-7 图示三铰拱。试画出 AC、BC 及整体的受力图,自重都不计。
意二力杆和三力平衡汇交定理的应用。不能凭主观想象画约束力。
第一章力和约束 习题解答
1-1 求 图 示 空 间 汇 交 力 系 的 合 力 。 已 知 F1 = 100N , F2 = 200N , F3 = 300N , F4 = 400N ,方向如图示。如果仅改变力 F4 的方向,能否使此力系成为平衡力系?为什么?
题 1-2 图
解:
Mx
=
F
cos2
60o h
−
F
sin 60o r cos30o
=
1 4
F (h
−
3r ) ;
M y = F cos 60o sin 60o h + F sin 60o r sin 30o
= 3 F (h + r)
;
4
Mz
=
−F
cos 60o r
=
−
1 2
Fr
1-3 计算题 1-1 中合力对ξ 轴的力矩,图中长度单位为 m。
对 x, y, z 轴的力矩和,以及对坐标原点 O 的力矩和。
解:平面 abc 的法向量为 n = 1 i + 1 j + 1 k ,力偶矢为 ab c
M = Mn0 , 其中 i, j,k, n0 依次为 x, y, z, n 方向的单位向
量。力 F 表为 F = Fξ 0
其中ξ 0 为ξ = 1 (a i + b j) − ck 方向的单位向量。
题 1-9(a)图 (b)按三力平衡汇交定理画出整体的受力图,然后依次画出杆 CD、杆 AB、轮 D 的受力图。
题 1-9(b)图
5
(c)折杆 BC 为二力构件,约束力方向一定是沿着 BC 连线。因力偶只能与力偶平衡,所 以,铰链 A 和 B 处的约束力一定互相平行而组成力偶。
题 1-9(c)图 (d)图示结构中,杆 CE 为二力杆,其余杆件的受力按力偶平衡理论确定。
解:按合力投影定理计算合力在 x, y, z 轴上的投影: FRx = F1 cosϕ1 + F2 sin γ 2 cosϕ2 − F4 sin2 30o = 111.1 (N); FRy = F2 sin γ 2 sinϕ2 + F3 + F4 sin 30o cos30o
= 601.1 (N); FRz = −F1 sinϕ1 − F2 cosγ 2 sinϕ2 + F4 cos30o
题 1-7(c)图 1-8 试画出结构中 AB 的受力图。 解:图(a)中的构件 ABD,图(b)和(c)中的杆 AB 都是受三力作用而平衡的构件,因 此,可以应用三力平衡汇交定理确定铰链 A 处的约束力方向。
(a) 题 1-8 图
(b)
4
(c)
1-9 试画出图示物体系统以及标字母构件的受力图。除注明的外,物体的自重都不计。 解:(a)图示物体系统由多个物体组成,为确定约束力的方向,要考虑先后次序。我们按以 下次序进行受力分析:轮 D、杆 EB、杆 DC、结构 ABCDE、杆 AB。
rAB = −ai − bj + ck ,
力 F 表为
F=
F rAB
rAB ,
对 O 点的力矩为
MO (F ) = OA× F
=
c rAB
F(bi − aj),
题 1-5 图
∴
M y (F ) =
−
ac rAB
F.
CD 方 向 的 单 位 向 量 为 τ = bj + ck , 从 而 求 得 : b2 + c2
FR
FR
FR
又,除作用点外,力的大小和方向共有 3 个因素,其中力的方向包含 2 个因素。因此,仅改
变 F4 的方向,不能使此力系成为平衡力系。
1
1-2 圆盘半径为 r ,可绕与其垂直的轴 z 转动。在圆盘边缘 C 处作用一力 F ,此力位 于与 z 轴平行、与圆盘在 C 处相切的平面内,尺寸如图示。计算力 F 对 x, y, z 轴的力矩。
2
题 1-4 图
Mo (F )
=
−ck × F
=
caF ξ
(i −
j)。
得到
( ) ( M
x
=
c k
M
+
2aF
,My
=
c k
M
−
其中: k = a2 + 2c2 。
) 2aF
,Mz
=
aM k
1-5 力 F 沿长方体的对角线 AB 作用,如图示。试计算力 F 对 y 轴及 CD 轴的力矩。
2
解:向量 AB 为