第4章匀速圆周运动
一、圆周运动的描述:线速度、角速度、向心力、加速度
1．线速度：反映质点沿圆周运动快慢的物理量．
v＝错误!＝错误!
2．角速度：反映质点绕圆心转动快慢的物理量
ω＝错误!＝错误!
3．向心力:根据效果命名的力，可以是几个力的合力，也可以是某个力的分力，还可能是重力、弹力或摩擦力．如果物体做匀速圆周运动，合力一定全部提供向心力．
4．向心加速度：反映速度方向变化快慢的物理量．
a＝错误!＝ω2r＝错误!r＝ωv.
例1如图1所示是一个皮带传动减速装置，轮A和轮B共轴固定在一起,各轮半径之比R A∶R B∶R C∶R D＝2∶1∶1∶2，求在运转过程中，轮C边缘上一点和轮D边缘上一点向心加速度之比．
图1
二、圆周运动问题分析
1．明确圆周运动的轨道平面、圆心和半径是解题的基础．分析圆周运动问题时,首先要明确其圆周轨道是怎样的一个平面，确定其圆心在何处，半径是多大，这样才能掌握做圆周运动物体的运动情况．
2．分析物体受力情况，搞清向心力的来源是解题的关键．如果物体做匀速圆周运动，物体所受各力的合力就是向心力；如果物体做变速圆周运动，它所受的合力一般不是向心力，但在某些特殊位置(例如：竖直平面内圆周的最高点、最低点)，合力也可能就是向心力．
3．恰当地选择向心力公式．向心力公式F＝m错误!＝mrω2＝m错误!2r中都有明确的特征，应用时要根据题意，选择适当的公式计算．
例2如图2所示，两根长度相同的轻绳，连接着相同的两个小球,让它们穿过光滑的杆
在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？
图2
三、圆周运动中的临界问题
1．临界状态
当物体从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，既可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”．
2．轻绳类
轻绳拴球在竖直面内做圆周运动，过最高点时，临界速度为v＝错误!，此时F绳＝0.
3．轻杆类
(1）小球能过最高点的临界条件：v＝0.
（2)当0<v〈错误!时,F为支持力；
(3)当v＝错误!时,F＝0;
（4）当v〉gr时，F为拉力．
4。

汽车过拱桥
如图3所示,当压力为零时,即G－m错误!＝0，v＝错误!，这个速度是汽车过拱桥的临界速度．
v〈错误!是汽车安全过桥的条件．
图3
5．摩擦力提供向心力
图4
如图4所示，物体随着水平圆盘一起转动，汽车在水平路面上转弯，它们做圆周运动的向心力等于静摩擦力，当静摩擦力达到最大时，物体运动速度也达到最大，由f max＝m错误!得
v max＝错误!，这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度．
例3如图5所示，AB为半径为R的金属导轨（导轨厚度不计），a、b为分别沿导轨
上、下两表面做圆周运动的小球（可看做质点），要使小球不脱离导轨，则a、b在导轨最高点的速度v a、v b应满足什么条件？
图5
例4如图6所示，细绳的一端系着质量为M＝2 kg的物体，静止在水平圆盘上，另一端通过光滑的小孔吊着质量为m＝0。

5 kg的物体，M的中点与圆孔的距离为0.5 m,并已知M与圆盘的最大静摩擦力为4 N，现使此圆盘绕中心轴线转动，求角速度ω在什么范围内可使m处于静止状态？（g取10 m/s2）
图6
四、平抛运动、圆周运动与动能定理的结合
1．动能定理表达式:W总＝W1＋W2＋W3＋…＝错误!mv错误!－错误!mv错误!。

(1)动能定理研究的过程可以是直线，也可以是曲线．特别是解决平抛运动、圆周运动或多过程问题更显优越性．
(2）动能定理中的功W，可以是恒力做的功,也可以是变力做的功，对于有变力做功的圆周运动经常将牛顿第二定律与动能定理相结合解题．
2．与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度．
3．与竖直平面内的圆周运动相结合时,应特别注意隐藏的临界条件．
（1）有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能过最高点的临界条件为v min＝0。

(2）没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能过最高点的临界条件为v min＝Rg。

例5如图7所示，一个质量为m＝0。

6 kg的小球以某一初速度v 0＝2 m/s从P点水平抛出，从粗糙圆弧ABC的A点沿切线方向进入(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失）且恰好沿圆弧通过最高点C,已知圆弧的圆心为O，半径R＝0。

3 m，θ＝60°，g＝10 m/s2.试求：
图7
（1）小球到达A点的速度v A的大小；
（2)P点与A点的竖直高度H;
(3）小球从圆弧A点运动到最高点C的过程中克服摩擦力所做的功W.
例6如图8所示,由细管道组成的竖直轨道，其圆形部分半径分别是R和错误!，质量为m的小球通过这段轨道时，在A点时刚好对管壁无压力，在B点时对管外侧壁压力为错误!mg。

求小球由A点运动到B点的过程中摩擦力对小球做的功．
图8
答案精析
章末整合提升
分类突破
例1 8∶1
解析B、D轮边缘线速度相等，A、C轮边缘线速度相等，A、B轮角速度相等.错误!＝错误!＝2∶1，错误!＝错误!＝4∶1，错误!＝错误!＝错误!×错误!＝8∶1.
例2 3∶2
解析设每段绳子长为l,对球2有
F2＝2mlω2
对球1有:F1－F2＝mlω2
由以上两式得：F1＝3mlω2
故错误!＝错误!。

例3 见解析
解析对a球在最高点,由牛顿第二定律得:
m a g－N a＝m a错误!①
要使a球不脱离轨道,则N a≥0②
由①②得：v a≤错误!
对b球在最高点,由牛顿第二定律得：
m b g＋N b＝m b错误!③
要使b球不脱离轨道，则N b≥0④
由③④得：v b≥gR.
例4 1 rad/s≤ω≤3 rad/s
解析当ω取较小值ω1时，M有向O点滑动趋势,此时M所受静摩擦力背离圆心O，对M有：mg－f max＝Mω21r，
代入数据得：ω1＝1 rad/s.
当ω取较大值ω2时，M有背离O点滑动趋势，
此时M所受静摩擦力指向圆心O，对M有：
mg＋f max＝Mω错误!r，代入数据得:ω2＝3 rad/s
所以角速度的取值范围是：1 rad/s≤ω≤3 rad/s。

例5 (1)4 m/s （2)0.6 m (3）1.2 J
解析(1)在A处由速度的合成得v A＝错误!
代入数据解得v A＝4 m/s
（2）P到A小球做平抛运动,竖直分速度v y＝v0tan θ
由运动学规律有v错误!＝2gH
由以上两式解得H＝0.6 m
(3）小球恰好过C点满足mg＝错误!
由A到C由动能定理得
－mgR(1＋cos θ)－W＝错误!mv错误!－错误!mv错误!
代入解得W＝1。

2 J。

例6 －错误!mgR
解析由圆周运动的知识知，小球在A点时：
mg＝m错误!①
得v A＝错误!②
设小球在B点的速度为v B，则由圆周运动的知识知，mg＋N B＝m错误!③
其中N B＝错误!mg
得v错误!＝错误!gR④
小球从A点运动到B点的过程中，重力做功W G＝mgR。

摩擦力做功为W f，由动能定理得：
mgR＋W f＝错误!mv错误!－错误!mv错误!⑤
联立②④⑤,得W f＝－错误!mgR.。