第三讲 大题考法——椭圆题型(一) 直线与椭圆的位置关系主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方程、直线方程的求法.[典例感悟][例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝23k 2＋11＋k2|k |1＋2k2. 因为PC ＝2AB ， 所以23k 2＋1 1＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k21＋2k2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.[方法技巧]解决直线与椭圆的位置关系问题的2个注意点(1)直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等．(2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理．[演练冲关]1．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a2c＝42，解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：(设点法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点． 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A (－2,0)．设M (x 0，y 0)(－2<x 0<0)，则B (2x 0＋2,2y 0)． 所以x 20＋y 20＝89，①2x 0＋224＋2y 022＝1，②由①②得9x 20－18x 0－16＝0， 解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①得y 0＝±23，所以k AB ＝±12，因此直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.法二：(设线法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．由椭圆方程知A (－2,0)，设B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k x ＋2，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k 2.所以x M ＝x B ＋－22＝－4k 21＋2k2， y M ＝k (x M ＋2)＝2k1＋2k2， 代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 22＝89，化简得28k 4＋k 2－2＝0，即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.2.(2018·南师附中调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右准线l 方程为x ＝4，右焦点F (1,0)，A 为椭圆的左顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足AM ―→·MN ―→＝0且5|AM ―→|＝2|MN ―→|，求直线AM 的方程．解：(1)∵a 2c＝4，c ＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， ∴x M ＝－16k 24k 2＋3＋2＝6－8k24k 2＋3，y M ＝k (x M ＋2)＝12k4k 2＋3. 而k MN ＝－1k，又∵x N ＝4，∴MN ＝ 1＋1k2|x M －x N |＝1＋1k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪24k 2＋64k 2＋3＝1＋k 2k ·24k 2＋64k 2＋3. 又∵AM ＝1＋k 2|x M －x A |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪124k 2＋3＝1＋k 2·124k 2＋3，∵5|AM ―→|＝2|MN ―→|，∴51＋k 2·124k 2＋3＝21＋k 2k ·24k 2＋64k 2＋3，∴k ＝1或14，∴AM 的方程为y ＝x ＋2或y ＝14x ＋12.题型(二) 椭圆与圆的综合问题主要考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆与圆相结合的问题，主要求椭圆、圆的方程.[典例感悟][例2] (2018·无锡期末)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，D 为上顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连结PA 交椭圆于点C ，记点P 的纵坐标为t .(1)求椭圆E 的方程；(2)若△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程； (3)求过点B ，C ，P 的圆的方程(结果用t 表示)．[解] (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，b ＝c ，所以直线DB 的方程为y ＝－22x ＋b ， 又O 到直线BD 的距离为63，所以b1＋12＝63， 解得b ＝1，a ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (2，t )，t >0，则直线PA 的方程为y ＝t22(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t22x ＋2，整理得(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0， 解得x C ＝42－2t 24＋t2， 则点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t2，4t 4＋t 2，因为△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积， 所以△AOC 的面积等于△BPC 的面积，S △AOC ＝12×2×4t 4＋t 2＝22t 4＋t2， S △PBC ＝12×t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t2， 则2t 34＋t 2＝22t 4＋t2，解得t ＝ 2. 所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0.(3)因为B (2，0)，P (2，t )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t2，4t 4＋t 2，所以BP 的垂直平分线为y ＝t2，BC 的垂直平分线为y ＝2t 2x －2tt 2＋4， 所以过B ，C ，P 三点的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋82t 2＋4，t 2， 则过B ，C ，P 三点的圆的方程为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －t 2＋82t 2＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝t 42t 2＋42＋t 24，即所求圆的方程为x 2－2t 2＋82t 2＋4x ＋y 2－ty ＋8t 2＋4＝0. [方法技巧]椭圆与圆的综合问题的解题策略(1)在椭圆背景下，常会出现给出三点(包含椭圆上的点)求圆的方程，也会出现给出以椭圆上的两点为直径的圆的问题．这里涉及到椭圆上动点如何求解，以及椭圆的弦的处理．(2)以两点为直径的圆，可以用直角三角形处理，也可以用向量数量积处理，这两种方法都是转化为点坐标来处理.(3)运算时要加强“设而不求”思想的渗透，出现多个变量时，要有消元意识和主元思想；在代入运算过程中，不要忘掉整体思想．(4)在研究直线与椭圆相交的问题时，通常有两种方法来设参，一是设点坐标来作为参数，二是设直线的斜率作为参数．在学习中，要通过比较来看应用哪种方法较为简便，以免将问题复杂化．[演练冲关](2018·镇江期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，左焦点F (－2,0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若M (－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程． 解：(1)因为e ＝ca ＝22，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2. 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (s ，t )，则B (－s ，t )，且s 2＋2t 2＝8.① 因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ， 所以MA ―→·MB ―→＝0，又MA ―→＝(s ＋6，t ＋1)，MB ―→＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0.② 由①②解得t ＝13，或t ＝－1(舍，因为M (－6，－1)，所以t >0)，所以s 2＝709.又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t )，半径为AB2＝|s |，所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＝709.题型(三)椭圆中的定点、定值问题主要考查直线与椭圆的位置关系及动直线、动圆过定点问题或与动点有关的定值问题.[典例感悟][例3] (2018·江苏六市调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q 满足QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． [解] 设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)．(1)在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋x ＋329＝1.所以x 0＝－6a29＋a 2.因为PB 1＝x 20＋y 0－32＝2|x 0|，所以42＝2·6a 29＋a 2，解得a 2＝18.所以椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)法一：(设点法) 直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0， 由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3. 同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3. 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.因为P (x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 2－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.法二：(设线法) 设直线PB 1，PB 2的斜率分别为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0.x 0≠0， 所以k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k.由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，解得x 1＝6k2k 2＋1.所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k 2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.[方法技巧]1．定点问题的两种求解方法(1)引进参数法，引进动点的坐标或动直线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法，根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．2．定值问题的基本求解方法先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．[演练冲关]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为(2)证明：当直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋x 2＋4y 2＝4，2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－35. 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P (2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得a ＝2b ， 所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把P (2，－1)的坐标代入，得b 2＝2，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 22＝1.(2) 由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数． 设直线PA 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k x －2，x 2＋4y 2＝8，消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0. 因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝42k ＋12－81＋4k2， 即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2.从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1. 计算，得k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12，是定值． [课时达标训练]A 组——大题保分练1.如图，圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，与x 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且MN ＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆T ：x 24＋y 28＝1相交于两点A ，B ，连结AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .解：(1)设圆C 的半径为r ，依题意得，圆心坐标为(r,2)．∵MN ＝3，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22，∴r ＝52， ∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254.(2)证明：把y ＝0代入方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254，解得x ＝1或x ＝4，即点M (1,0)，N (4,0)．①当AB ⊥x 轴时，由椭圆对称性可知∠ANM ＝∠BNM .②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y28＝1消去y ，得(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2k 2＋2，x 1x 2＝k 2－8k 2＋2.∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， ∴k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝k x 1－1x 1－4＋k x 2－1x 2－4＝k x 1－1x 2－4＋k x 2－1x 1－4x 1－4x 2－4.∵(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝2k 2－8k 2＋－10k22＋8＝0，∴k AN ＋k BN ＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 综上所述，∠ANM ＝∠BNM .2．(2018·高邮中学月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．解：(1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，从而有b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0,因为x ＝－2为该方程的一个根，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，设C (0，y 0)，由k AC ·k BC ＝－1， 得y 02·12k3＋4k 2－y 06－8k23＋4k2＝－1， 即(3＋4k 2)y 20－12ky 0＋(16k 2－12)＝0.(*)由AC ＝BC ，即AC 2＝BC 2，得4＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－12k 3＋4k 22，即4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 3＋4k 22－24k 3＋4k 2y 0， 即4(3＋4k 2)2＝(6－8k 2)2＋144k 2－24k (3＋4k 2)y 0， 所以k ＝0或y 0＝－2k3＋4k2，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝0，当y 0＝－2k 3＋4k 2时，代入(*)得16k 4＋7k 2－9＝0，解得k ＝±34，此时直线l 的方程为y ＝±34(x ＋2)，综上，直线l 的方程为y ＝0,3x －4y ＋6＝0或3x ＋4y ＋6＝0. 3．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP2＋1OQ 2的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2c －c ＝1，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2， 所以1OP2＋1OQ 2＝1.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x 得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2.所以12＋12＝2k 2＋12＋12，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆与椭圆M 和圆N 均只(1)求椭圆M 的方程和直线l 的方程； (2)试在圆N 上求一点P ，使PBPA＝2 2. 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.圆N 的方程为(x －1)2＋y 2＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 因为直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆M 只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0得m 2＝3＋4k 2,② 由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆N 只有一个公共点， 得|k ＋m |1＋k2＝5，即k 2＋2km ＋m 2＝5＋5k 2，③将②代入③得km ＝1，④ 由②④且k >0，得k ＝12，m ＝2.所以直线l 的方程为y ＝12x ＋2.(2)将k ＝12，m ＝2代入①，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32. 又过切点B 的半径所在的直线l ′为y ＝－2x ＋2，所以得交点B (0,2)， 设P (x 0，y 0)，因为PBPA＝22， 则x 20＋y 0－22x 0＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－22＝8，化简得7x 20＋7y 20＋16x 0－20y 0＋22＝0，⑤ 又P (x 0，y 0)满足x 20＋y 20－2x 0＝4，⑥将⑤－7×⑥得3x 0－2y 0＋5＝0，即y 0＝3x 0＋52.⑦将⑦代入⑥得13x 20＋22x 0＋9＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝－13，所以P (－1,1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－913，1913.B 组——大题增分练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab .(1)若椭圆C 的离心率为63，求椭圆C 的方程； (2)若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线PF 2交y 轴于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆与点F 1的位置关系，并说明理由．解：由题意，得点A (a,0)，B (0，b )，直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0﹒ 由题设，得||ab a 2＋b2＝ab ，化简得a 2＋b 2＝1.①(1)因为e ＝c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，即a 2＝3b 2.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝34，b 2＝14，所以椭圆C 的方程为4x 23＋4y 2＝1.(2)点F 1在以PQ 为直径的圆上，理由如下：由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx ＋1消去y 得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，(*) 则Δ＝(2ka 2)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2－a 2b 2)＝0， 化简得1－b 2－a 2k 2＝0，所以k 2＝1－b2a2＝1，因为点P 在第二象限，所以k ＝1.把k ＝1代入方程(*)，得x 2＋2a 2x ＋a 4＝0， 解得x ＝－a 2，从而y ＝b 2，所以P (－a 2，b 2)﹒从而直线PF 2的方程为y －b 2＝b 2－a 2－c(x ＋a 2)，令x ＝0，得y ＝b 2c a 2＋c ，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2c a 2＋c ﹒从而F 1P ―→＝(－a 2＋c ，b 2)，F 1Q ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2c a 2＋c ，从而F 1P ―→·F 1Q ―→＝c (－a 2＋c )＋b 4c a 2＋c＝c －a 4＋b 4＋c 2a 2＋c ＝c []b 2－a 2b 2＋a 2＋c 2a 2＋c＝0，所以F 1P ―→·F 1Q ―→＝0.所以点F 1在以PQ 为直径的圆上．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2. (1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC 必过点Q .解：(1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2,0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2， 所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 2x 20－4＝1－14x 2x 20－4＝－14.(2)设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 2＋y 2＝4，消去y ，得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0， 解得x P ＝2k 21－11＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0， 解得x B ＝24k 21－11＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y P x P ＋65＝－4k 11＋k 212k 21－11＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(3)设直线AC 的方程为y ＝k 2(x －2)， 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85，所以k 1＝－12，即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4，解得x Q ＝－216k 21－116k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 2121－4k 211＋4k 21－2＝－14k 1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－216k 21－116k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q . 3．(2018·扬州期末)已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若椭圆E 2：x 2ma 2＋y 2mb 2＝1(a >b >0，m >1)，则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”．(1)求经过点(2，1)，且与椭圆E 1：x 22＋y 2＝1“相似”的椭圆E 2的方程； (2)若椭圆E 1与椭圆E 2“相似”，且m ＝4，椭圆E 1的离心率为22，P 在椭圆E 2上，过P 的直线l 交椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ―→＝λAB ―→.①若B 的坐标为(0,2)，且λ＝2，求直线l 的方程； ②若直线OP ，OA 的斜率之积为－12，求实数λ的值．解：(1)设椭圆E 2的方程为x 22m ＋y 2m＝1，将点(2，1)代入得m ＝2，所以椭圆E 2的方程为x 24＋y 22＝1.(2)因为椭圆E 1的离心率为22，故a 2＝2b 2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2. 又椭圆E 2与椭圆E 1“相似”，且m ＝4，所以椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．①法一：(设线法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32.当直线l 斜率不存在时，B (0,2)，A (0，－2)，P (0,4)，不满足AP ―→＝2AB ―→，从而直线l 斜率存在，可设直线l ：y ＝kx ＋2，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＝0， 解得x 1＝－8k 1＋2k 2，x 2＝0，故y 1＝2－4k21＋2k2，y 2＝2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋2k 2，2－4k 21＋2k 2.又AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 2，2＋12k 21＋2k 2， 代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12k 21＋2k 22＝32， 即20k 4＋4k 2－3＝0，所以k ＝±3010，所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. 法二：(设点法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，E 2：x 2＋2y 2＝32.由A (x 1，y 1)，B (0,2)，AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点， 则P (－x 1,4－y 1)．代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝8，x 21＋24－y 12＝32，解得y 1＝12，故x 1＝±302， 所以直线l 的斜率k ＝±3010， 所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. ②由题意得x 20＋2y 20＝8b 2，x 21＋2y 21＝2b 2，x 22＋2y 22＝2b 2，法一：(设点法)由直线OP ，OA 的斜率之积为－12，得y 0x 0·y 1x 1＝－12，即x 0x 1＋2y 0y 1＝0. 又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－1x 1λ，y 2＝y 0＋λ－1y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－1x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2，所以λ＝52.法二：(设线法) 不妨设点P 在第一象限，设直线OP ：y ＝kx (k >0)，代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2，解得x 0＝22b 1＋2k2，则y 0＝22bk 1＋2k2.直线OP ，OA 的斜率之积为－12，则直线OA ：y ＝－12k x ，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2，解得x 1＝－2bk 1＋2k2，则y 1＝b1＋2k2.又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－1x 1λ，y 2＝y 0＋λ－1y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－1x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋2(λ－1)22b 1＋2k2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2bk1＋2k 2＋2·22bk 1＋2k 2·b 1＋2k2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2， 即8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2， 所以λ＝52.4.(2018·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)， F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 解：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3， ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)·(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0. 因为x 0＞0，y 0＞0， 所以x 0＝2，y 0＝1. 所以点P 的坐标为(2，1)． ②因为△OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0± 48y 20x 20－224x 20＋y 20， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20x 20－24x 20＋y 202. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16x 20－2x 20＋12＝3249， 即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12， 因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫102，22. 所以直线l 的方程为y －22＝－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －102， 即y ＝－5x ＋3 2.。