题目：悬崖跳水的水池深度【摘要】高空跳水是一种惊险刺激的体育运动项目，此文主要研究高台跳水和高空跳水与水深的关系，从而保证运动员达到一定的安全性。

高空跳水是一项极限运动，在空中“飞行”的时间只有几秒钟，期间要表演一系列的扭腰和转身动作。

运动员入水速度约为每小時78至100公里，人在进入水中的瞬间，水对身体的冲击相当于开车以每小时100公里的速度撞墙。

如果跳水员是脑袋先落入水中，可能引起脑震荡甚至死亡，所以选手在完成动作后，必须脚部先入水。

因此，我们建立一个跳水优化模型来定量的计算所需水池深度及跳台高度的安全性，从而使跳水运动有个较安全通道系数，这对国际跳水运动有着非常重要价值意义。

在建立跳水模型时，本文利用了流体力学和流固碰撞等相关知识，并通过公式22d h dvm A gsH mgdt dhηρ=+-等，求解出在不同跳台高度时的水池的深度，才能保证运动员的安全。

在解决问题一时，我们将运动员的体重看作定量，把人体模型，优化成一个圆柱体从而简化我们的计算。

整个过程分为三个阶段，入水前，入水后，及完全入水。

然后从流体力学的角度分析不同条件可以分别用动能守恒定理，动量守恒定理，自由落体等公式，最后我们可得到上述微分方程。

然后再用Matlab解微分方程及用plot绘出它相应的图象，从而得到我们想要一些数据。

最终通过上述模型可分别求出男子和女子在不同跳台高度l所对应的水池深度2h（见表一），从而可以得出跳台高度l和水池深度2h的关系并用以及用图象更好的反应它们之间的关系。

在解决问题二时，我们将跳台的高度看作定量，结合问题一的分析，与问题一分析类似，就是变量稍有不同，我们也可以通过上述相应的办法来求出男子和女子在不同体重m所对应的水池深度2h（见表二），从而可以得出体重m和水池深度2h的关系及用图象来绘出它们的关系。

关键词：流固碰撞流体力学动能守恒定律动量守恒定律微分方程1、问题的重述与分析1.1 问题的重述悬崖跳水是一种惊险刺激的体育运动项目，通行的比赛规则要求，男子起跳高度为23至28米，女子起跳高度为18至23米。

我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。

近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛，是一种非常危险、挑战人类极限的比赛。

由于高空跳水危险性较大，容易出现伤害事故，所以在世界上开展得不很普遍。

如何减小跳水当中的危害，提高安全性？因此需要我们建立数学模型，而我们要的工作就是:1.定量的计算，跳台下面的水池要有多深，才能保证人的安全;2.分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。

1.2 问题的分析要探讨水深的安全的问题，需要分析在跳水者进入水之后继续下落的深度，考虑到绝对的安全，那么在运动员下落至水底之前，速度减为足够小，而不至于因撞击池底而受伤。

在本问题中，要确保运动员的绝对安全，此处所需深度恰好是运动员在水下首次静止时的深度。

空气中的下落按照质点下落分析，而将整个入水过程分成三个阶段如下：①接触水面碰撞，②人体与水面碰撞完毕后整个身体进入水中，③整个身体刚好完全进入水中到触底。

第一个过程，人水短暂碰撞过程按照流固撞击处理，运用动力学原理能量和动量分析；第二个过程，人的身体处于进入水的过程，建立运动状态方程；第三个过程，由于身体完全进入水中，同样建立第二个状态方程；图1. 人体的简化模型图2.跳水示意图2、问题的假设1．人和水的接触面积适当，不会产生危险2．人都经过了合格的训练，动作规范3. 跳水的水池足够宽4. 人体入水前，速度垂直向下，人体方向竖直向下，水平方向速度为0，水面静止。

5．落水时，双脚先着陆水6．不考虑水流影响及气侯导致水平面上升的影响7．男子为底面半径为15cm，高为180cm的圆柱体，质量分布均匀，体重m=60kg 女子为底面半径为12cm，高为170cm的圆柱体，质量分布均匀，体重m=50kg3、符号说明2=为重力加速度，9.8/g m s33ρ=为水的密度，kg m10/m=60kg 为人的质量，l为跳台与水面的距离，h 为人体腾空高度，0v 为人即将与水面接触时的速度， 1v 为人完全进入水时的速度，2v 是人水碰撞之后水的速度，s 为人体等效圆柱体的底面积， r 为柱体底面半径，t ∆为人水撞击持续的时间， H 为人的高度， A 为柱体表面积，η为粘滞系数，1h 代表柱体部分进入水面时底面与水面的距离， 2h 代表柱体完全进入水面后底面与水面的距离。

4、模型的建立与求解4.1 问题1的求解对于体重60m kg =的男子从跳台高度为l （23~28m ）的跳台跳水，已知123l m =，0.3h m =，则有 ①入水前：22()g l h v +=021.3701v =解得：②入水后：21121d h dv m A gsh mg dt dh ηρ=+-10 1.8h m <<1(0)0h =10(0)()dh v dt= 运用matlab 求解微分方程得： 1()h t =exp(7/100*2355^(1/2)*t)*(213701/3297000*2355^(1/2)-200/471)+exp(-7/100*2355^(1/2)*t)*(-200/471-213701/3297000*2355^(1/2))+400/471 将1()h t H =代入解得0.0847t =210.0847()()10.2560t dh t v dt=== ③完全浸入水中 2222d h v m A gsH mg dt h ηρ∆=+-∆ 2 1.8h m >21(0)dh v dt= 运用matlab 求解微分方程得：2()h t =9/5-50000000/139*log(1/59569644531250000*(-1860793*sin(7/1000000*311221^(1/2)*t)+437500*cos(7/1000000*311221^(1/2)*t)*311221^(1/2))^2)令2()0dh t dt=得0.9231t = 则：2 5.65h =同理可得表1图3. 1h 与t 的关系4.2 问题2的求解对于不同体重(50~60)m kg 的人从一定的跳台高度l =23m 的跳台跳水，已知l =23m ，0.3h m =，50m kg =，则有 ①入水前：22()g l h v +=解得021.3701v =②入水后：21121d h dv m A gsh mg dt dh ηρ=+- 10 1.8h <<m1(0)0h =10(0)()dh v dt= 运用matlab 求解微分方程得：1()h t =2137/6594*sin(21/100*314^(1/2)*t)*2^(1/2)*157^(1/2)-1000/1413*cos(21/100*314^(1/2)*t)+1000/1413将1()h t H =代入解得t=0.0780210.0780()()10.0121t dh t v dt=== ③完全浸入水中 2222d h v m A gsH mg dt h ηρ∆=+-∆ 2 1.8h m >21(0)dh v dt= 运用matlab 求解微分方程得： 2()h t =-687/100*t^2+53663/2500*t+17/10令2()0dh t dt=得t=0.7278 则：2h =6.3390同理可得表25、模型的评价优点：1、本文的模型在建立过程中充分运用了流体力学中的知识，结合公式有效的处理跳水时的复杂问题，且适用性强。

2、我们还采用图形结合，形象生动的展现出跳水复杂过程。

3、我们仔细分析并推敲问题一和问题二之间的区别与联系。

4、在解决问题时，充分应用MATLAB 软件，灵活地解决了繁杂方程的求解。

不足：1、在考虑人在空气中的下落时，我们将人看作质点，忽略了其中的空气阻力，这样存在一定的精度影响。

2、在考虑人在水中的运动时，也忽略了一些重要的因素（如：水的粘度等），必然会带来较大的误差，影响最终结果。

参考文献[1] 丁祖荣，《流体力学（上册）》，高等教育出版社，2003，12.[2] HakunaGone，跳水安全问题的分析，/view/e7f 0de6527d3240c8447ef83.html，2011-7-8.[3] 姜启源等，数学建模（第3版），北京：高等教育出版社，2003.8.[4] 有道词典，悬崖跳水，/search?q=bk%3A%E6%82%A C%E5%B4%96%E8%B7%B3%E6%B0%B4&keyfrom=wiki.index.results#q%3Dbk%253A%2 5E6%2582%25AC%25E5%25B4%2596%25E8%25B7%25B3%25E6%25B0%25B4%26keyfrom% 3Dwiki.index.results，2011-7-8.。