工程应用数学基础
0 1 1 2
例 4 试求方阵 A 1 0 0 1 的带行交换的LR分解.
2 1 0 1 1 3 0 1
解 取置换矩阵:
0 1 0 0
P 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1
研究生MOOC课程
第15讲 矩阵的三角分解
1
工程应用数学基础
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
工程应用数学基础
上(下)三角阵的性质:
1) 上(下)三角阵的和、差、乘积、逆仍是上(下)三角阵；
2) 单位上(下)三角阵的乘积、逆仍为单位上(下)三角阵.
另外系数矩阵A为三角阵的非齐次线性方程组
容易求解.
Ax b
研究生MOOC课程
二、三角分解的求解
所以矩阵 A 的LR分解是
2 1 4
1
2 1 4
A 4 3 13 LR 2 1

1
5

2 2 20
1 1 1
11
工程应用数学基础
研究生MOOC课程
第15讲 矩阵的三角分解
二、三角分解的求解
0 1 1 2
1 0 0 1
0 1 0 0 (4) (3) 3 0
1 1
2
2 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 1
0 0 0 3
1 0 0 1
(3) (2) 0 1 1
2
0 0 1 1
0 0 0 3
1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 1 0 7 0 3 1
二、三角分解的求解
问题
方阵 A 与 Ã 有什么关系?
PA Ã ，其中 P 是置换矩阵.
工程应用数学基础
定理2 若 A是 n 阶可逆方阵，则存在置换矩阵P，使得
PA 有唯一的三角分解，即有 PA LR
称上 LR 分解为 A 的带行交换的LR分解.
研究生MOOC课程
第15讲 矩阵的三角分解
二、三角分解的求解
所以有
a (1) 22

a22
a12

a21 a11

0
a11 a12
0 (
i
)(
2
)
ai(21) a2(12)
a (1) 22


0
0
研究生MOOC课程
a1n a (1)
2n
1 a21
a11
a(2) nn
*
1

a (1) n2
a (1) 22
1 1
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解 定义1(三角分解) 若方阵 A 可分解为
A LR 其中 L 是单位下三角阵，R 是上三角阵，则称 A 可三角分解 (或LR分解，或Doolittle分解).
工程应用数学基础
对于非齐次线性方程组
研究生MOOC课程
Ax b
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
若方阵 A 有三角分解 A LR 令 Rx y
二、三角分解的求解
工程应用数学基础
则有
0 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 1
PA 1
0
0
0

1
0
0 1 0
1 1 2
0 0 1 0 2 1 0 1 2 1 0 1
0
0
0
1

1
3
0
1

1
3
0 1
因为 1 1 0， 2 1 0， 3 所以 PA 有唯一的LR分解
1
0 0 0 1 1
2
2 1 0 1
2 1 1 0 0 0 1 1

1
3
0 1

1
3 3 1 0 0
0 3
研究生MOOC课程
第15讲 矩阵的三角分解
二、三角分解的求解
[R⁞L 1]
工程应用数学基础
1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 7 0 3 1
研究生MOOC课程
第15讲 矩阵的三角分解
二、三角分解的求解
工程应用数学基础
即有
1 0 0 1
1 0 0 0
R 0 1 1 0 0 1
2
，L1


0
1
0
研究生MOOC课程
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
上三角阵
a11 a1n

ann
下三角阵
a11


an1 ann
单位上三角阵
1


1
研究生MOOC课程
单位下三角阵
1



其中 Ak，Lk，Rk 分别是 A，L，R 的 k 阶顺序 主子阵
研究生MOOC课程
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
因为A可逆，所以L，R 可逆 按分块矩阵计算性质有 Ak Lk Rk 因为A可逆，所以L，R 可逆，进而有
|Lk| 0， |Rk| 0 于是有 |Ak| |Lk| |Rk| 0 所以定理成立
工程应用数学基础
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
工程应用数学基础
下证必要性
若可逆矩阵 A 存在LR分解: A LR
则对任意的k ( 1 k n) ，将 A LR 写成分块矩阵的形式
A

Ak Ck
Bk Dk


Lk

M
k
O Rk
N
k


O
Vk
Wk

工程应用数学基础
依次类推有

第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
a11 a12

0
a (1) 22


0
0
a1n 1
a (1) 2n
*
1
a ( n 1) nn
*
*
工程应用数学基础
[R⁞L 1] 1
其中 L 1 是单位下三角阵，R是上三角阵 由单位下三角阵的性质知，L 也是单位下三角阵
二是Jordan标准形 A Pdiag{J1( 1)，J2( 2)，…，Js( s) } P 1
研究生MOOC课程
工程应用数学基础
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
工程应用数学基础
矩阵分解: 把矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的 若干个矩阵的乘积形式
分解意义: 清晰地反映出原矩阵的某些特征，提供有效的 数值计算方法和理论分析依据
0
1
2 1 1 0
0 0 0 3
7 0 3 1
所以 A 的带行交换的LR分解是:
1 0 0 0
L 0 1 0 0 2 1 1 0

1
3 3 1
1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 1
PA


0
1 1 2 LR 0
则 Ax b 可分解为两个非齐次线性方程组: 1) Ly b (前推方程组) 2) Rx y (后退方程组)
工程应用数学基础
研究生MOOC课程
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
首先由方程组 Ly b
1 l21 1
y1 b1


y2



b2


第15讲 矩阵的三角分解
二、三角分解的求解
工程应用数学基础
2 1 4 1

2 1 4 1

[ A I ] 4 3 13
1

( 2 ) (1)2
(3) (1)

0
1
5 2 1

2 2 20
1
0 1 16 1 0 1
2 1 4 1

(3) ( 2 )

rnn


xn


yn

解得
xn xn1 x1
研究生MOOC课程
工程应用数学基础
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
工程应用数学基础
问题
是否任何方阵都有LR分解呢?
例
1
方阵
A

0 1
1 0
就没有LR分解
定理1 n 阶可逆方阵 A 有唯一的LR分解的充要条件是
(i )(1) ai1

a11
0
a (1) 22


0
a (1) n2
研究生MOOC课程
a1n 1

a (1) 2n
a21 a11
1

1
a (1) nn
an1 a11
1
工程应用数学基础
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
又因为 2 a11 a22 a12 a21 0
0 1 1 2
1 0 0 1
A 1 0 0 1 A 0 1 1 2
2 1 0 1
2 1 0 1
1 3 0 1
1 3 0 1
则方阵 A 有三角分解.
且方程组 Ax b 与方程组 Ax b 同解.
研究生MOOC课程
工程应用数学基础
第15讲 矩阵的三角分解
研究生MOOC课程
第15讲 矩阵的三角分解
一、三角分解
工程应用数学基础
因为矩阵[ R ⁞ L 1 ]是由矩阵 [ A ⁞ I ]通过行初等变换得到的，所
以存在一个可逆矩阵P，使得