ij 13kkij sij
• 矩阵形式
sij ij pij
11p 12
13 x p xy
zx
s 21 22p
2 3
xy
y p
yz
31
32 33p zx
yz z p
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第二节 斜截面上应力分量
一、应力矢量的坐标分量 ti(n) jinj ij nj
pyxlyymyn z
pzzx lym z zn
xy zx
xy y yz
zx l yz m z n
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二、应力矢量的法切分量
❖总应力t（ total stress ）
t2 ti(n) ti(n) ( ijnj)(iknk)ijiknjnk ❖正应力（ normal stress ）
N ti(n) ni ijninj
展
开
n 1 2 1 n 1 2 22 n 2 3 2 3 2 3 ( n 1 n 2 1 n 2 2 n 3 2 n 3 3 n 1 3 )1
世
俗
l2x m 2y n 2z 2 lm x y 2 m y z 2 n nzl x
❖剪应力（ shear stress ） N t2 N2
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第一节 柯西应力张量
一、柯西应力矢量
dFj
❖应力矢量定义
• 符号说明
PdA ni
– 力矢量的分量 dFj , – 微元面积 dA ，外法线单位矢量的分量 ni • 柯西应力矢量
t (n) dF dA
or
t (n) j
dF j dA
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4
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14
dA 3dAcosdAn3
dAi dAni
6
dAi dAni
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在x1方向平衡：
t (n)
1
dA
11dA121dA2 31dA3
0
t 1 ( n ) d A 1 d 1 n 1 A 2 d 1 n 2 A 3 d 1 n 3 A 0
消去dA，得 t1 (n )1n 1 12n 1 23n 1 3 j1nj
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❖例题3.1
已知某点的应力张量（MPa）
50 50 80
50
0
75
80 75 30
试求法线方向余弦为（1/2、1/2、1/2） 斜面上的总应力、正应力和剪应力。
❖解
11 12 13n1
t(n) σ n 21
31
22 32
3233nn32
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❖正六面体上的应力矢量
• 矢量表示
e1、e2、e3为沿坐标的单位矢量
t(e1)1e1 11e 2 21e3 3 1je j
22
t(e2)2e1 12e 2 22e 3 3 2 je j
t(e3)3e1 13e 2 23e 3 33je j
that is
t(ei) ijej
σ 21
22
23
31 32 33
Where 11, 22, 33 are normal stresses, and 12, 13, 21, 23, 31, 32 are shear stresses.
According to the theorem of conjugate
shear stresses in Strength of Materials, we
同理；在x2、 x3方向平衡：
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t(n) 2
j2nj
t3(n) j3nj
t(n) i
jinj
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二、柯西应力张量
❖应力张量
t(n) i
jinj
Since ti(n) and ni denote vectors, it follows from the quotient rule of Chapter 2 that the
• 分量表示
t (ei )
j
ij
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23
21 12
32 31 13
11
33
x2
x3
x1
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❖任意斜截面上的应力矢量
• 面积 dA，外法线单位矢量n
• 斜平面上应力矢量t(n)
四面体为 脱离体：
微元面积之 间的关系：
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d1AdA cosdAn1 d2 AdA cosdAn2
components ji are components of a second-
order Cartesian tensor. This tensor is called
Cauchy stress tensor.
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❖二阶应力张量的矩阵表示
11 12 13
have
ij ji
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三、应力张量分解
1
柯西应力张量还可以表示为 ij 13kkij sij
The first term in the right-hand is called spherical stress tensor and the second term called deviator stress tensor.
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总体概述
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第三章 应力分析
第一节 柯西应力张量 第二节 斜截面上应力分量 第三节 应力张量坐标变换 第四节 主应力和主方向 第五节 八面体上的应力 第六节 平衡微分方程
展 开
t σn (n)
t1 (n )1n 1 11n 2 21n 3 3 t2 (n )2n 1 12n 2 22n 3 3 t3 (n )3n 1 22 32
矩阵
1233nn12
33n3
世 俗
px xlxm y zn x x
❖球形应力张量
• 平均正应力p
设 p 表示平均正应力 mean normal stress
p
1
3
kk
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展开 世俗
13(112233)
13(x y z)
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• 球形应力张量 13kkij pij
❖偏斜应力张量
• 分量形式
矩阵 形式
p 0 0
pI
0
p
0
0 0 p