土木工程专业：弹性力学
第三章 应力分析
第一节 柯西应力张量 第二节 斜截面上应力分量 第三节 应力张量坐标变换 第四节 主应力和主方向 第五节 八面体上的应力 第六节 平衡微分方程
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第一节 柯西应力张量
一、柯西应力矢量
dFj
❖应力矢量定义
符号说明
PdA ni
p 0 0
pI
0
p
0
0 0 p
ij
1 3
kk
ij
sij
矩阵形式
sij ij p ij
11 p
s
21
31
12 22 p
32
13 x p
23
xy
33 p zx
xy y p
yz
zx
yz
z p
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13 23
nn12
31 32 33 n3
世 俗
px xl xym zx n py xyl ym yzn pz zxl yzm z n
xxy zx
xy y yz
zx yz
l m
z n
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二、应力矢量的法切分量
力矢量的分量 dFj , 微元面积 dA ，外法线单位矢量的分量 ni 柯西应力矢量
t (n) dF dA
or
t (n) j
dFj dA
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❖正六面体上的应力矢量
矢量表示
e1、e2、e3为沿坐标的单位矢量
t (e1) 11e1 12e2 13e3 1 je j
第二节 斜截面上应力分量
一、应力矢量的坐标分量
t (n) i
ji n j
ij n j
展 开
t1(n) 11n1 12 n2 13n3
t
(n) 2
21n1
22n2
23n3
t
(n) 3
31n1
32n2
33n3
t(n) σ n 矩阵
11 21
12 22
❖解
11
t(n) σ n 21
12 22
13 23
nn12
31 32 33 n3
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50 50 80 0.5 106.6
t(n) 50
0
σ 21
22
23
31 32 33
Where 11, 22, 33 are normal stresses, and 12, 13, 21, 23, 31, 32 are shear stresses.
According to the theorem of conjugate
shear stresses in Strength of Materials, we
deviator stress tensor.
❖球形应力张量
平均正应力p
设 p 表示平均正应力 mean normal stress
p
1
3
kk
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展开 世俗
1 3
( 11
22
33 )
1 (
3
x
y
z
)
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球形应力张量
1 3
kk
ij
p ij
❖偏斜应力张量
分量形式
矩阵 形式
世 俗
l2 x m2 y n2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx
❖剪应力（ shear stress ）
N
t
2
2 N
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❖例题3.1
已知某点的应力张量（MPa）
50 50 80 50 0 75 80 75 30
试求法线方向余弦为（1/2、1/2、1/2） 斜面上的总应力、正应力和剪应力。
❖总应力t（ total stress ）
t 2 ti(n) ti(n) ( ij n j )( ik nk ) ij ik n j nk
❖正应力（ normal stress ）
N
t
(n i
)
ni
ij ni n j
展 开
n1211 n22 22 n32 33 2(n1n212 n2n3 23 n3n1 31)
22
t (e2 ) 21e1 22e2 23e3 2 je j
t (e3 ) 31e1 32e2 33e3 3 je j
that is
t(ei ) ij e j
分量表示
t (ei )
j
ij
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23
21 12
32 31 13
11
33
x2
x3
x1
3
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❖任意斜截面上的应力矢量
面积 dA，外法线单位矢量n
斜平面上应力矢量t(n)
四面体为 脱离体：
微元面积之 间的关系：
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dA1 dAcos dA n1 dA2 dAcos dA n2 dA3 dAcos dA n3
dAi dA ni
4
dAi dA ni
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components ji are components of a second-
order Cartesian tensor. This tensor is called
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❖二阶应力张量的矩阵表示
11 12 13
3
j 3n j
t (n) i
ji n j
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二、柯西应力张量
❖应力张量
t (n) i
ji n j
Since ti(n) and ni denote vectors, it follows from the quotient rule of Chapter 2 that the
have
ij ji
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三、应力张量分解
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柯西应力张量还可以表示为
ij
1 3
kk
ij
sij
The first term in the right-hand is called spherical stress tensor and the second term called
在x1方向平衡： t1(n)dA 11dA1 21dA2 31dA3 0
t (n)
1
dA
11dA
n1
21dA n2
31dA n3
0
消去dA，得 t1(n) 11n1 21n2 31n3 j1n j
同理；在x2、 x3方向平衡：
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t(n) 2
j2nj
t(n)