因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数
第四章 随机变量Biblioteka 数字特征第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
四、应用实例
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一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个 赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环) , 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1 k 1
k 1

PX xk pk , k 1,2,.

记为EX, 即 E X
k 1
xk pk .

比如
X的分布律为
正态分布 指数分布

1 λ
λe λx , x 0 p x x0 0,
练习 设随机变量X的概率密度为 x, 0 x 1 f ( x ) 2 x, 1 x 2 0, 其它
求随机变量X 的数学期望E(X).
练习 设随机变量X的概率密度为 x, 0 x 1 f ( x ) 2 x, 1 x 2 0, 其它
8 8 9 9 10 10
甲射手 乙射手
击中环数 击中环数 概率 概率
0 0..3 2 0 0..1 5 0 0..6 3
例2 (泊松分布) 设随机变量 X P(), 求EX.
解 设X P λ , 且其分布律为
λk - λ P X k e , k 0,1,2,, λ 0. k!
k 1 4
因此离散型随机变量函数的数学期望为
若 Y=g(X), 且 P{ X xk } pk , k 1, 2,,
则有
E (Y ) E ( g ( X )) g ( xk ) pk .
k 1

3. 一维连续型随机变量函数数学期望的计算 设X是一个连续型随机变量, Y g(X), 则
E Y Eg X g x f x dx, X为连续型

f(x)为X的密度函数。
求E[g(X)]时, 只需 知道X的分布即可.
定理1 设X是一个随机变量, Y g(X), 则
g xk pk , X为 离 散 型 E Y E g X k 1 g x f x dx , X为 连 续 型
1 但是 xk pk . k k 1 k 1
因而其数学期望EX不存在.


二、随机变量函数的数学期望
(一) 一维随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出 数学期望 E(X) X 数学期望

EX
k 1
xk pk

g(X)
Eg X
E X xf x dx
求随机变量X 的数学期望E(X). 解 E(X)=


1 0
xf ( x )dx
2 2 1
x dx x(2 x )dx
1 7 3 1 3 3
6. 数学期望不存在的实例 例6 设离散型随机变量X的分布律为
k 2 1 k pk P X 1 k , k 1,2, k 2 求EX. k 1 解 由于 xk pk 1 lnk . k k 1 k 1


1 x e 2πσ
x μ 2
2σ 2
dx
1 μ σt 2π
t2 e 2 dt
由概率密度 的归一性
1 μ 2π μ.
t2 2 e dt
σ 2π
t2 te 2 d t
由凑微分
因而参数 μ为正态分布的数学期望.
例5 (指数分布) 设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为
求EX. 解
e x , f x 0,

x 0, 其中 0, x 0.
E X xf x d x

0
x λe λx d x
由分部积分
1 . λ

0 X ~ 1- p
0-1分布的期望为p
1 p
E(X)= 0 （1 - p) 1 p p
注1º EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 它从本质上体现了随机变量 X 取可能 值的真正的平均值, 也称均值. 注2º 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随
Y X2
0
1
4
p
p2
p1 p3
p4
则有 E (Y ) E ( g( X )) E ( X 2 )
0 p2 1 ( p1 p3 ) 4 p4
0 p2 (1)2 p1 12 p3 22 p4
g ( xk )P{ X xk }.
λx xe 0

λx e dx 0
常见连续型分布的数学期望小结
分布名称
均匀分布
概率密度
1 , x [a , b ] p x b a 其他 0, x μ 2 2 1 2 σ p x e 2 πσ
EX
ab 2
第1种分法考虑到A、B两人赌技相同，就平均分配，没 有照顾到A 已经比B 多赢1局这一现实，显然对A是不公平 的。 第2种分法不但照顾到“A、B两人赌技相同”这一前 提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些 。但是，第2种分法还是没有考虑到如果继续比赛下去的 话会出现什么情形，即没有照顾到两人在现有基础上对比 赛结果的一种期待。
引例1 分赌本问题(产生背景) A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定 先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
事实上，很容易设想出以下两种分法： (1) A得200*（1/2)元、B得200*（1/2)元; (2) A得200*（2/3)元、B得200*（1/3)元;
g是连续函数, g(X) 是随 机变量, 如: aX+b, X2等等 .
2. 离散型随机变量函数的数学期望 例7 设随机变量 X 的分布律为
X xk P{ X xk } pk
2
1
0
1
2
p1
p2
p3
p4
若 Y g( X ) X , 求 E (Y ). 解 先求 Y X 2 的分布律



xf x dx
记为EX, 即
称为随机变量X 的数学期望,

E X xf x dx.
4. 常见连续型随机变量的数学期望
例3 (均匀分布) 设随机变量X服从均匀分布, 求E(X). 解 设X ~ U a, b, 其概率密度函数为
则有
1 f x b a 0
b
a x b, 其 它.
1 1 E X xf x dx xdx a b . a ba 2 因而均匀分布数学期望位于区间的中点.
例4 (正态分布) 设随机变量 X ~ N ( μ, σ 2 ), 求EX.
解 设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度函数
则有
k 1 λ E X k e e- λ λ k 1! k! k 0 k 1
k

λe e λ .
λ λ
因而泊松分布P的数学期望为 .
3. 连续型随机变量数学期望的定义 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为

fx, 若积分 xf x dx 绝对收敛, 则
x 2
2 2
f x
则有
1 e 2π
, 0, x .
EX



xf x dx
x μ 2
2σ 2


1 x e 2πσ
dx
x μ 令 t x μ σt σ
所以 E X
级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求
是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的
平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.
例1 选拔运动员
设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现 需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的 记录显示, 二人的技术水平如下:
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
n

i
j
j 1
n
x v
n i 1 i
i
,
其 中 vi i

j 1
n
j
,
这是 以概率为权的加权平均
则称 xω为该生的加权平均成绩.
显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种 1 特例, 即 vi , 可见加权平均才充分的体现了 n 平均值的意义.