第9讲随机变量的数学期望与方差教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。

2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。

教学重点：1．随机变量的数学期望For personal use only in study and research; not for commercial use2．随机变量函数的数学期望3．数学期望的性质4．方差的定义For personal use only in study and research; not for commercial use5．方差的性质教学难点：数学期望与方差的统计意义。

教学学时：2学时。

For personal use only in study and research; not for commercial use教学过程：第三章随机变量的数字特征§3.1 数学期望For personal use only in study and research; not for commercial use在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了。

然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。

因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。

1．离散随机变量的数学期望我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。

车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量，如何定义X 取值的平均值呢？若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。

这样可以得到这100天中每天的平均废品数为27.1100213100172100301100320=⨯+⨯+⨯+⨯这个数能作为X 取值的平均值吗？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。

对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ，则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。

但是，如果试验次数很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近∑∞=1k k kp x由此引入离散随机变量数学期望的定义。

定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是 ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k 如果∑∞=1||k k kp x收敛，定义X 的数学期望为∑∞==1)(k k k p x X E也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。

例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门。

若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望。

解 设试开次数为X ，则nk X p 1)(==，n , ,2 ,1 =k于是∑=⋅=nk n k X E 11)(2)1(1n n n +⋅=21+=n 2. 连续随机变量的数学期望为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X 是连续随机变量，其密度函数为)(x f ，把区间) , (∞+-∞分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X 落在任意小区间] , (dx x x +内的概率，则有)(dx x X x p +≤<=⎰+dx x xdx t f )(dx x f )(≈由于区间] , (dx x x +的长度非常小，随机变量X 在] , (dx x x +内的全部取值都可近似为x ，而取值的概率可近似为dx x f )(。

参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义。

定义2 设X 是连续随机变量，其密度函数为)(x f 。

如果⎰∞∞-dx x f x )(||收敛，定义连续随机变量X 的数学期望为⎰∞∞-=dx x f x X E )()(也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。

由连续随机变量数学期望的定义不难计算： 若),(~b a U X ，即X 服从), (b a 上的均匀分布,则2)(ba X E +=若X 服从参数为的泊松分布，则λλ=)(X E若X 服从则 ),,(2σμNμ=)(X E3.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是随机变量X 的数学期望，而是X 的某个函数的数学期望，比如说)(X g 的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量函数的数学期望计算问题。

一种方法是，因为)(X g 也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的 X 的分布求出来。

一旦我们知道了)(X g 的分布，就可以按照数学期望的定义把)]([X g E 计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数)(X g 的分布，一般是比较复杂的。

那么是否可以不先求)(X g 的分布，而只根据X 的分布求得)]([X g E 呢？答案是肯定的，其基本公式如下：设X 是一个随机变量，)(X g Y =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞-∞=连续离散X dx x f x g X p x g X g E Y E k k k ,)()(,)()]([)(1当X 是离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ； 当X 是连续时，X 的密度函数为)(x f 。

该公式的重要性在于，当我们求E [g (X )]时,不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。

4.数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。

（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。

（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

推广到n 个随机变量有∑∑===ni i ni i X E X E 11)(][。

（4）设X 、Y 相互独立，则有 E (XY )=E (X )E (Y )。

推广到n 个随机变量有 ∏∏===ni i ni i X E X E 11)(][5.数学期望性质的应用例2 求二项分布的数学期望。

解 若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。

若设⎩⎨⎧=次试验失败如第次试验成功如第i i X i 01 i =1,2，…，n 则n X X X X +++= 21，因为 P X P i ==)1(，q P X P i =-==1)0( 所以p p q X E i =*+*=10)(，则=)(X E np X E X E ni i ni i ==∑∑==11)(][可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np 。

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。

例3 设随机变量X 服从柯西分布,概率密度为 +∞<<-∞=+x x f x ,)()1(12π 求数学期望)(X E 。

解 依数学期望的计算公式有 dx X E x x ⎰+∞∞-+=112)(π因为广义积分dx x x⎰+∞∞-+1不收敛，所以数学期望)(X E 不存在。

§3.2 方差前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是我们要学习的方差的概念。

1. 方差的定义定义3 设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E - (3.1)为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

方差的算术平方根)(X D 称为随机变量X 的标准差，记作)(X σ，即)()(X D X =σ由于)(X σ与X 具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。

若方差)(X D =0，则随机变量X 以概率1取常数值。

由定义1知，方差是随机变量X 的函数2)]([)(X E X X g -=的数学期望，故⎪⎩⎪⎨⎧--=⎰∑∞∞-∞=连续时当离散时当X dx x f X E x p X E x X D k k k k ,)()]([X ,)]([)(212当X 离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ； 当X 连续时，X 的密度函数为)(x f 。

计算方差的一个简单公式：22)]([)()(X E X E X D -=证22222)]([)(])]([)(2[]))([()(X E X E x E X XE X E X E X E X D -=+-=-= 请用此公式计算常见分布的方差。

例4 设随机变量X 服从几何分布，概率函数为1)1(--=k k p p P , k =1,2,…,n其中0<p <1，求)(X D 。

解 记q =1-p∑∞=-=11)(k k kpqX E ∑∞==1)'(k kq p ∑∞==1)'(k k q p )'1(q q p -=p1= ∑∞=-=1122)(k k pqk X E ])1([1111∑∑∞=-∞=-+-=k k k k kq qk k p ∑∞=''=1)(k k q qp +E (X )p q q qp 1)1(+''-=p q qp 1)1(23+-=p p q 122+=22)]([)()(X E X E X D -=22pp -=21p -21p p-= 2. 方差的性质（1）设C 是常数,则D (C )=0。

（2）若C 是常数,则)()(2X D C CX D =。

（3）若X 与Y 独立，则)()()(Y D X D Y X D +=+。

证 由数学期望的性质及求方差的公式得{}{})()()]([)()]([)()()(2)]([)]([)()(2)()()]()([]2[)]([])[()(2222222222222Y D X D Y E Y E X E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E x E XY Y X E Y X E Y X E Y X D +=-+-=---++=+-++=+-+=+可推广为：若1X ,2X ，…，n X 相互独立，则∑∑===ni i ni i X D X D 11)(][∑∑===ni i i n i i i X D C X C D 121)(][（4） D (X )=0 ⇔P (X = C )=1， 这里C =E (X )。