《经济数学基础》主要公式一、两个重要极限○10sin lim 1x x x →=，或0lim 1sin x xx→=；它的推广形式：sin ()lim1()u x u x =，（其中()0u x →）○21lim(1)xx x e →+=，或1lim(1)xx e x→∞+=； 它的推广形式：若()0u x →且lim ()()u x v x A =，则()lim[1()]v x A u x e +=。
③常用的等价无穷小量()0u x →时，()sin ()~()u x u x 、()tan ()~()u x u x 、()1~()u x e u x -、()ln 1()~()u x u x +()~(0)2u x a a a>二、导数及微分1．导数的定义xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000，000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→记作：()f x '，y '，dydx ，()d f x dx在函数)(x f 任意一点x 导数的定义：x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(00()()()limh f x h f x f x h →+-'= 2．微分的定义()dy y dx f x dx ''==3．导数及微分主要公式：1︒．()0C '=； 0dC = （C 为任意常数） 2︒．1()x xααα-'=； 1()d x xdx ααα-= （α为任意实数）3︒．()ln xxa a a '= ln x xda a adx = （0，1a a >≠） 特别地()x x e e '= x xde e dx =4︒．1(log )ln a x x a '=1(log )ln a d x dx x a =（0，1a a >≠） 特别地1(ln )x x '= 1(ln )d x dx x=5︒．(sin )cos x x '= (sin )cos d x xdx = 6︒．(cos )sin x x '=- (cos )sin d x xdx =-7︒．221(tan )sec cos x x x '==221(tan )sec cos d x xdx dx x== 8︒．221(cot )csc sin x x x '=-=- 221(cot )csc sin d x xdx dx x=-=- 4．复合函数求导法则：若函数()u u x =在点x 可导，函数()y f u =在点u 处可导，则复合函数(())y f u x =在点x 可导，且：0()u u x dy dy dudx du dx==⋅ 或记作[])())(())((x u x u f x u f '⋅'='α5．常用的复合函数求导公式： 1︒．)())((]))([(1x u x u x u '⋅='-ααα （α为常数）2︒．)(ln )()()(x u a a ax u x u '⋅=' 特别地：)()()()(x u e e x u x u '⋅='3︒．)(ln )(1))((log x u a x u x u a '⋅=' 特别地：)()(1))((ln x u x u x u '⋅='4︒．)())(cos(]))([sin(x u x u x u '⋅='；)())(sin(]))([cos(x u x u x u '⋅-=' 6．求导与微分的基本法则设()u u x =，()v v x =，()w w x =均可微；，a b 是任意常数，则 1︒．()au bv au bv '''±=±； ()d au bv adu bdv ±=± 2︒．()u v u v uv '''⋅=+； ()d u v vdu udv ⋅=+3︒．2()u u v uv vv ''-'=； 2()u vdu udvd v v -= 特别地：21()v v v ''=-； 21()dvd v v=-4︒．()uvw u vw uv w uvw ''''=++ ()d uvw vwdu uwdv uvdw =++7．隐函数的导数设方程(,)0F x y =确定隐函数()y y x =，求y '（或00x x y y y =='）的步骤：1︒、方程(,)0F x y =两边同时对x 求导数，求导过程中视y 为中间变量，得到含有y '的一个方程；2︒、从上述方程中解出y '（或将00,x x y y ==代入上述含有y '的方程，化简并解出0x x y y y =='）8．曲线()y f x =在点00(，)x y 处的切线方程000()()y y f x x x '-=-9．导数的应用 （1）单调性1︒．设函数()y f x =在区间I 上（内）连续，在I 内()0f x '>，则函数()f x 在区间I 上（内）单调增加；2︒．设函数()y f x =在区间I 上（内）连续，在I 内()0f x '<，则函数()f x 在区间I 上（内）单调减少。
（2）极值点与极值设函数()y f x =在点0x 连续，x 是0x 附近的任一点，且0x x ≠，1︒．若在0x 两侧附近均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的极大值，0x 为极大值点；2︒．若在0x 两侧附近均有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()f x 的极小值，0x 为极小值点；极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。
（3）极值点的判定1︒．极值点的必要条件：函数的极值点必为驻点或不可导点；（注：若0()0f x '=，则称0x 为()f x 的一个驻点。
）2︒．充分条件：若函数()f x 在点0x 连续，在0x 两侧附近()f x '的符号相异，则0x 必为()f x 的极值点，否则一定不是()f x 的极值点，并且当()f x '在0x 的左侧为负右侧为正时，0x 为极小值点；当()f x '在0x 的右侧为负左侧为正时，0x 为极大值点。
（4）凹凸性设设函数()y f x =在区间(，)a b 上二阶可导，1︒．若在(，)a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(，)a b 内是凹的； 2︒．若在(，)a b 内()0f x ''<，则曲线()y f x =在(，)a b 内是凸的； （5）经济函数的导数称为它们各自的边际函数1︒．边际成本：成本函数()C x 对产量x 的变化率()C x '称为边际成本，记成()MC x ； 2︒．边际收入：收入函数()R x 对产量x 的变化率()R x '称为边际成本，记成()MR x ； 3︒．边际利润：利润函数()L x 对产量x 的变化率()L x '称为边际成本，记成()ML x 。
（6）设需求函数()q q p =，则需求量q 对价格p 的弹性()()()q pE p q p q p '=（7）设函数()y f x =在区间I 上连续，在I 内可导，并且在I 内有唯一驻点0x ，如果0x 是函数()f x 的极小（大）值点，则0x 必是()f x 的最小（大）值点。
三、不定积分与定积分1．不定积分1︒．如果()f x 可导，则()()f x dx f x c '=+⎰2︒．如果()f x 存在原函数，则[()]()f x dx f x '=⎰3︒．()()kf x dx k kf x dx =⎰⎰4︒．1212[()()]()()f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰2．常用的不定积分公式： 1︒．kdx kx c =+⎰； 2︒．111x dx x c ααα+=++⎰（1α≠-）； 3︒．1ln dx x c x =+⎰；4︒．1ln xxa dx a c a=+⎰（0a >，1a ≠）； 5︒．x x e dx e c =+⎰；6︒．sin cos xdx x c =-+⎰； 7︒．cos sin xdx x c =+⎰； 8︒．ln ln xdx x x x c =-+⎰；3．常用的不定积分推广公式（即第一换元法）： 1︒．11()()(1)ax b dx ax b c a ααα++=+++⎰（1α≠-，0a ≠）；2︒．11ln dx ax b c ax b a =+++⎰ （0a ≠）； 3︒．1axax e dx e c a=+⎰ （0a ≠）；4︒．1sin()cos()ax b dx ax b c a +=-++⎰ （0a ≠）；5︒．1cos()sin()ax b dx ax b c a+=++⎰ （0a ≠）。
4．第一换元法的常用类型： 1︒．11[()]()[()]1u x u x dx u x c ααα+'=++⎰（1α≠-）； 2︒．1()ln ()()u x dx u x c u x '=+⎰；3︒．()()()u x u x e u x dx e c '=+⎰；4︒．sin ()()cos ()u x u x dx u x c '=-+⎰； 5︒．cos ()()sin ()u x u x dx u x c '=+⎰。
5．分部积分公式为：⎰⎰'-='x x P x F x F x P x F x P d )()()()(d )(分部积分的常用类型为：1︒．⎰xdx x ln α()1-≠α 2︒．⎰dx xe ax ()0≠a3︒．⎰bxdx x cos ()0≠b 4︒．⎰bxdx x sin ()0≠b6．推广的分部积分公式为：=⎰dx x f x P )()(()⎰-+'-dx x F x P x F x P x F x P n n n )()()1()()()()(21其中)(1x F 为)(x f 的任一原函数，)(1x F i +为)(x F i 的任一原函数，())(x P i 为)(x P 的i 阶导数。