在△AOF 和△COE 中， ∠ OAF＝AOO＝C，∠ECO， ∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE. ∴OF＝OE，即 AC 和 EF 互相垂直平分. ∴四边形 AECF 的形状为菱形.
【试题精选】 2.(2015 年浙江丽水)如图 4-5-6，已知△ABC，∠C＝90°， AC＜BC.D 为 BC 上一点，且到 A，B 两点的距离相等. (1)用直尺和圆规，作出点 D 的位置；(不写作法，保留作 图痕迹) (2)连接 AD，若∠B＝37°，求∠CAD 的度数.
图 D53
2.(2014 年广东)如图 4-5-8，点 D 在△ABC 的边 AB 上，且 ∠ACD＝∠A.
(1)作∠BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E；(用尺规作图法， 保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系.(不 要求证明)
图 4-5-8
图 1-1-1
解：(1)如图 D52：点 D 即为所求.
图 D52 (2)在 Rt△ABC 中，∠B＝37°， ∴∠CAB＝53°. 又∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝37°. ∴∠CAD＝53°－37°＝16°.
[名师点评]中考通常以基本的尺规作图为载体，在具体情 境中酝酿与构建图形之间的形状、位置、大小关系，进而对相 关问题进行计算、探究、发现与证明.
所以点 P 就是所要求作的点.
图 4-5-2
【试题精选】 1.(2015 年甘肃兰州)如图 4-5-3，在图中求作⊙P，使⊙P 满 足以线段 MN 为弦且圆心 P 到∠AOB 两边的距离相等.(要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签 字笔加黑)
图 4-5-3
解：如图 D51，⊙P 即为所作的圆. 图 D51
3.会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆； 作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形.
4.在尺规作图中，了解尺规作图的道理，保留作图痕迹， 不要求写作法.
知识点
尺规作 图及基 本作图
内容
定义
在几何中，把限定用__没__有__刻__度____的直尺和 __圆__规______来画图称为尺规作图
(1)作一条线段等于已知线段；
五种基 本作图
(2)作一个角等于已知角； (3)作一个角的平分线；
(4)过定点作已知直线的垂线；
(5)作线段的垂直平分线
一般步骤 (1)已知；(2)求作；(3)作法
当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对 注意 于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要
作的图大致相同，然后借助草图寻找作法
第5讲 尺规作图
1.完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个 角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂平分线； 过一点作已知直线的垂线.
2.利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边 及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及 底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形.
解：(1)如图 D54.
图 D54 (2)DE∥AC. ∵DE 平分∠BDC，∴∠BDE＝12∠BDC. ∵∠ACD＝∠A，∠ACD＋∠A＝∠BDC， ∴∠A＝12∠BDC.∴∠A＝∠BDE.∴DE∥AC.
谢谢大家
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再见
判断四边形 AECF 的形状并加以证明.
图 4-5-4
解：如图 4-5-5.
四边形 AECF 的形状为菱形.理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵AM 平分∠DAC，
∴∠DAM＝∠CAM.
∵∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，
图 4-5-5
∴∠CAM＝∠ACB.
∵EF 垂直平分 AC，
∴OA＝OC，∠AOF＝∠COE.
基本作图与应用 例 1：(2013 年甘肃兰州)如图 4-5-1，两条公路 OA 和 OB 相交于点 O，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货 站 P 到两条公路 OA，OB 的距离相等，且到两工厂 C，D 的距 离相等，用尺规作出货站 P 的位置.(要求：不写作法，保留作 图痕迹，写出结论)
作图与证明
例2：(2015 年山东济宁)如图 4-5-4，在△ABC 中，AB＝AC，
∠DAC 是△ABC 的一个外角.
实验与操作：
根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图
痕迹，不写作法)
(1)作∠DAC 的平分线 AM；
(2)作线段 AC 的垂直平分线，与 AM 交
于点 F，与 BC 边交于点 E，连接 AE，CF. 猜想并证明：
1.(2015 年广东)如图 4-5-7，已知锐角△ABC. (1)过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D；(用尺规作 图法，保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下，若 BC＝5，AD＝4，tan∠BAD＝34，求 DC 的长.
图 4-5-7
解：(1)如图 D53， (2)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在 Rt△ABD 中，∵tan∠BAD＝BADD＝34， ∴BD＝34×4＝3.∴DC＝BC－BD＝5－3＝2.
图 4-5-1
[思路分析]根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，
线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，作∠AOB 的平
分线与线段 CD 的垂直平分线，交点就是货站 P 的位置.
解：如图 4-5-2，作∠AOB 的平分线
OH，CD 的垂直平分线 EF，
OH 与 EF 的交点 P 就是货站的位置.