选修2－11.1命题与量词1.1.1命题1．了解命题的概念．(难点)2．理解命题的构成，并能指出命题的条件和结论．(重点)3．能判断一些简单命题的真假．(难点)[基础·初探]教材整理命题阅读教材P3，完成下列问题．1．命题：能判断真假的语句叫命题，命题一般用小写英文字母表示，如：p，q，r，….2．一个命题要么是真，要么是假．判断下列语句是命题的是________(填序号)．①求证3是无理数；②x2＋2x＋1≥0；③你是高二学生吗？④并非所有的人都喜欢苹果；⑤一个正整数不是质数就是合数．【解析】判断一个语句是否为命题，关键符合两点：①陈述句，②能判断真假．【答案】②④⑤[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]①一个数不是正数就是负数；②0是自然数吗？③22 016是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.【精彩点拨】判断语句是否为命题，要看是否符合两条：(1)是否为陈述句．(2)能否判断真假．【自主解答】②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大，不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题；①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数；④是命题，为真命题．【答案】①④判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．[再练一题]1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)函数y＝cos x是周期函数吗？(4)集合{a，b，c}有3个子集．【解】(1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．(2)不是命题，不能判断真假．(3)不是命题，是疑问句，不能判断真假．(4)是命题．因为集合{a，b，c}有23＝8个子集，所以集合{a，b，c}有3个子集为假命题．x2＋2x－k ＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是________．【精彩点拨】【自主解答】①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题．【答案】①②④1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，不存在模棱两可的情况．2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题时，只要举出一个反例即可．[再练一题]2．判断下列命题的真假．(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3＞x2成立；(3)若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．【解】(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时，x3＞x2不成立．(3)真命题．∵m＞1⇒Δ＝4－4m＜0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．[探究共研型]探究1(1)若整数a能被2整除，则整数a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．【提示】命题由条件和结论两部分组成，其结构形式为“若p，则q”；也可写成“如果p，那么q”，其中p是条件，q是结论．(1)p：“整数a能被2整除”，q：“整数a是偶数”．(2)p：“四边形是菱形”，q：“它的对角线互相垂直且平分”．探究2把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)等边三角形的三个内角相等；(2)当a＞1时，函数y＝a x是增函数；(3)菱形的对角线互相垂直．【提示】(1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．(2)若a＞1，则函数y＝a x是增函数．其中条件p：a＞1，结论q：函数y＝a x是增函数．(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．(2016·南京高二检测)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)能被3整除的数一定能被6整除；(2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．【精彩点拨】(1)上述命题的条件与结论分别是什么？(2)怎样用“若p，则q”的形式改写命题？【自主解答】(1)命题改写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被3整除，则这个数一定能被6整除．它是假命题，如：9能被3整除，但不能被6整除．(2)命题改写成“若p，则q”的形式为：若一个点到已知线段两端点的距离相等，则这个点在这条线段的垂直平分线上．由平面几何知识知它是真命题．1．要把一个命题写成“若p，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，有一些命题虽然不是“若p，则q”的形式，但是把它们的表述作适当的改变，也能写成“若p，则q”的形式，但要注意语言的流畅性．2．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法是：若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可判断“若p，则q”是真；而判定“若p，则q”是假，则只需要举出一个反例即可．[再练一题]3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)当1a>1b时，a<b；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等．【解】(1)若1a>1b，则a<b，假命题；(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，真命题；(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，假命题．[构建·体系]1．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是() A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形【解析】把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.【答案】 C2．若M，N是两个集合，则下列命题中的真命题是()A．如果M⊆N，那么M∩N＝MB．如果M∩N＝N，那么M⊆NC．如果M⊆N，那么M∪N＝MD．如果M∪N＝N，那么N⊆M【解析】由集合的包含关系知道，若M⊆N，则M∩N＝M.【答案】 A3．“常数列是等差数列”是________命题，“常数列是等比数列”是________命题．(填“真”或“假”)【导学号：15460000】【解析】“常数列是等差数列”是真命题，“常数列是等比数列”是假命题．【答案】真假4．命题：若a＞0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)，条件p：________，结论q：___________________，是________命题．(填“真”或“假”)【解析】把握命题结构特征分析易得答案．【答案】a＞0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)真5．将命题“a＞0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大”写成“若p，则q”的形式，并判断真假．【解】“若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．∵a＞0.∴函数y＝ax＋b为增函数，故该命题为真命题．我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质知，D为真命题．【答案】 D2．下列命题中是假命题的是()A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2＞bc2，则a＞bD．若α＝60°，则cos α＝1 2【解析】因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不一定成立，故选B.【答案】 B3．下列四个命题中，真命题是()【导学号：15460001】A．a＞b，c＞d⇒ac＞bdB．a＜b⇒a2＜b2C.1a＜1b⇒a＞bD．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d【解析】可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．【答案】 D4．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则下列四个命题为真命题的是()A．在a，b，c，d中有且仅有一个是负数B．在a，b，c，d中有且仅有两个是负数C．在a，b，c，d中至少有一个是负数D．在a，b，c，d中都是负数【解析】 举例取特殊值，验证可知C 是真命题．【答案】 C5．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a ＞0 C ．若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝3D ．在△ABC 中，若AB →·BC→＞0，则B 为锐角 【解析】 A 中，y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；C 中，∵a ∥b ，∴1－2＝k 6，得k ＝－3，故C 为假命题；D 中，当AB →·BC →＞0时，向量AB →与BC→的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题． 【答案】 B二、填空题6．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题的序号是________．【解析】 ②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①④正确．【答案】 ①④7．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y ＝a x ＋1是指数函数吗？③老师写的粉笔字真漂亮！④若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5＞0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．【解析】 ①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③该语句是感叹句，不是命题；④是命题，因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题．【答案】①④④8．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的等价条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).【导学号：15460002】【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对；只有直线l与α内的两条相交直线垂直时，直线l与α垂直，故④不对．【答案】①②三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋22是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？【解】(1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)等腰梯形的两条对角线相等；(2)平行四边形的两条对角线互相垂直．【解】(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题．(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题．[能力提升]1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2≠0，则下列命题：①a ，b 全为0；②a ，b 不全为0；③a ，b 全不为0；④a ，b 至少有一个不为0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ②④为真命题．【答案】 C2．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A >∠B ，则sin A >sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【解析】 ①②③是真命题．【答案】 B3．设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【解析】 将条件方程变形分析．①中，a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，a ，b 为正实数，若a －b ≥1，则必有a ＋b >1，不合题意，故①正确．②中，1b －1a ＝a －b ab ＝1，只需a －b ＝ab 即可．如取a ＝2，b ＝23满足上式，但a－b＝43>1，故②错．③中，a，b为正实数，所以a＋b>|a－b|＝1，且|a－b|＝|(a＋b)(a －b)|＝|a＋b|>1, 故③错．④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|·(a2＋ab＋b2)＝1.若|a－b|≥1，不妨取a>b>1，则必有a2＋ab＋b2>1，不合题意，故④正确．【答案】①④4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m>14时，方程mx2－x＋1＝0无实根；(2)平行于同一平面的两条直线平行．【解】(1)命题可改写为：若m>14，则mx2－x＋1＝0无实根．因为当m>14时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题.1.1.2量词1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和存在性命题的意义．(重点)2．掌握全称命题与存在性命题真假性的判定．(重点)[基础·初探]教材整理1全称量词与全称命题阅读教材P4～P5“思考与讨论”下面第3自然段，完成下列问题．1．全称量词与全称命题短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．2．全称命题的形式设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的为________．【解析】①中的量词“至少有一个”和④中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．②③中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题．【答案】②③教材整理2存在量词与存在性命题阅读教材P5“思考与讨论”下面第3自然段以下部分内容，完成下列问题．1．存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．2．存在性命题的形式设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．【解】(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以存在性命题“有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使1x0－1＝0；(3)对任意向量a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1.【精彩点拨】判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路：【自主解答】(1)因为含有“∀”，所以是全称命题．(2)因为含有“存在”，所以是存在性命题．(3)因为含有全称量词“任意”，所以该命题是全称命题．(4)因为含有存在量词“有一个”，所以该命题是存在性命题．判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词．当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断．[再练一题]1．给出下列四个命题：①所有梯形的对角线相等；②对任意实数x，均有x＋2>x；③存在实数x，使x2＋x＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．其中为全称命题的序号是________，为存在性命题的序号是________．【答案】①②③④判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3；(4)∃x∈R，x2－x＋1＝0.【精彩点拨】结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断．【自主解答】(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1>0，所以“∀x ∈R，x2＋1>0”是真命题．(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．(3)由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ<0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“∃x∈R，x2－x＋1＝0”是假命题．全称命题与存在性命题真假的判断方法1．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．2．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个存在性命题就是假命题．[再练一题]2．下列命题中的假命题是()【导学号：15460003】A．∃x∈R，lg x＝0B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0【解析】选项A，lg x＝0⇒x＝1；选项B，tan x＝1⇒x＝π4＋kπ(k∈Z)；选项C，x3>0⇒x>0；选项D,2x>0⇒x∈R.【答案】 C[探究共研型]探究a 的取值范围．【提示】不等式有解问题是存在性命题，只需Δ≥0即可．因此(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即a≥7 4.已知函数f(x)＝x2－2x＋5，是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．【精彩点拨】【解】不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.应用全称命题与存在性命题求参数范围的两类题型1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用集合中相应元素的具体性质求解；也可以根据函数等数学知识来解决．2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[再练一题]3．若命题“∀x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________.【导学号：15460004】【解析】“∀x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.【答案】[－4,0][构建·体系]1．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是() A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1 x>2【解析】A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x<0，所以D是假命题．【答案】 B2．下列命题为存在性命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．有很多实数不小于3【解析】A，B，C都是全称命题，D命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题．【答案】 D3．下列命题中是真命题的有________．(填序号)①∀x∈R，x2＋2x＋1＞0；②∃x∈R，|x|≤0；③∀x ∈N *，log 2x ＞0； ④∃x ∈R ，cos x ＝π2.【解析】 ①∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0， ∴命题是假命题．②∵当x ＝0时，|x |≤0成立， ∴命题是真命题． ③∵当x ＝1时，log 2x ＝0， ∴命题是假命题．④∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而π2＞1， ∴不存在x ∈R ，使cos x ＝π2， ∴命题是假命题． 【答案】 ②4．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5＜0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是_____命题(填“真”或“假”)．【解析】 命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5＜0是存在性命题．因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p 为假命题．【答案】 存在性命题 假5．已知命题p ：ax 2＋2x ＋1＞0，若对∀x ∈R ，p 是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 由题意可得，∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立．(1)当a ＝0时，ax 2＋2x ＋1＝2x ＋1＞0，显然不恒成立，不合题意． (2)当a ≠0时，要使ax 2＋2x ＋1＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4－4a ＜0，解得a ＞1. 综上可知，所求实数a 的取值范围是(1，＋∞)．我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．棱台只有两个面平行 C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0【解析】 A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是存在性命题，故选D.【答案】 D2．下列命题为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，cos x <2 B ．∃x ∈Z ，log 2(3x －1)<0C．∀x>0,3x>3D．∃x∈Q，方程2x－2＝0有解【解析】A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0⇔0<3x－1<1⇔13<x<23，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，2x－2＝0⇔x＝2∉Q，所以D是假命题．故选A.【答案】 A3．有以下四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2x2＋cos 2x2＝12；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；p3：∀x∈[0，π]，1－cos 2x2＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝π2.其中的假命题是()【导学号：15460005】A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p2，p3【解析】sin2x2＋cos 2x2＝1恒成立，p1错；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，p2对；当x∈[0，π]时，sin x≥0，∴1－cos 2x2＝sin2x＝sin x，p3对；当x＝23π，y＝π6时，sin x＝cos y成立，但x＋y≠π2，p4错．【答案】 A4．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N，x为29的约数．＋其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．【答案】 C5．下列命题不是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使x2＞3B．对有些x∈R，使x2＞3C．任选一个x∈R，使x2＞3D．至少有一个x∈R，使x2＞3【解析】选项C中“任选一个”是全称量词，没有“∃”的含义．【答案】 C二、填空题6．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．【解析】由全称命题的定义可知①②④为全称命题，而③为存在性命题．【答案】①②④7．已知命题：“∃x0∈[1,2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是______．【解析】当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.【答案】[－8，＋∞)8．下列命题：①存在x<0，使|x|>x；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N*，都有a n≠b n；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________.【导学号：15460006】【解析】命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n<0，对于∀n∈N*，都有a n<b n，即a n≠b n，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．【答案】①②③三、解答题9．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对于任意的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；(4)存在实数x0，使得x0≤0.【解】(1)是一个存在性命题，用符号表示为：∃α∈R，使sin2α＋cos2α≠1，假命题．(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l ，l 都存在斜率，假命题． (3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解，假命题．(4)是一个存在性命题，用符号表示为：∃x 0∈R ，使得x 0≤0，真命题． 10．若x ∈[－2,2]，关于x 的不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围． 【解】 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则此问题转化为当x ∈[－2,2]时，f (x )的最小值不小于0即可．①当－a2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增， f (x )的最小值为f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73. 又因为a >4，所以a 不存在． ②当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a24≥0，解得－6≤a ≤2.又因为－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2. ③当－a2>2，即a <－4时， f (x )在[－2,2]上单调递减， f (x )的最小值为f (2)＝7＋a ≥0， 解得a ≥－7.又因为a <－4，所以－7≤a <－4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．[能力提升]1．已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)【解析】 由题知，x 0＝－b2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的，故选C.【答案】 C2．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是( ) A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x ，使sin x ＝π2 C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin α D ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β【解析】 B 是存在性命题，但为假命题，C 是全称命题，D 为全称命题． 【答案】 A3．已知函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，若对任意x 1∈[－1,3]，存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为对任意x 1∈[－1,3]，f (x 1)∈[m,9＋m ]，即f (x )的最小值为m .存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，只要满足g (x )的最小值小于等于m 即可，而g (x )是单调递减函数，故g (x )的最小值为g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，得m ≥14.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞4．已知a >12且a ≠1，条件p ：函数f (x )＝log (2a －1)x 在其定义域上是减函数；条件q ：函数g (x )＝x ＋|x －a |－2的定义域为R ，如果p ∨q 为真，试求a 的取值范围．【解】 若p 为真，则0<2a －1<1，得12<a <1. 若q 为真，则x ＋|x －a |－2≥0对∀x ∈R 恒成立． 记f (x )＝x ＋|x －a |－2， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a －2，x ≥a ，a －2，x <a ，所以f (x )的最小值为a －2，即q 为真时，a －2≥0，即a ≥2.于是p ∨q 为真时，得12<a <1或a ≥2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞).1.2 基本逻辑联结词 1．2.1 “且”与“或”1．能说出逻辑联结词“且”“或”的意义．(重点) 2．能够判断命题“p 且q ”“p 或q ”的真假．(难点)3．会使用联结词“且”“或”联结并改写成某些数学命题，会判断命题 的真假．(易错点)[基础·初探]教材整理1“且”阅读教材P10，完成下列问题．1．定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．【答案】p∧q p且q2．真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是________；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是________．【答案】真命题假命题判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．()(2)若命题p为假，则p∧q一定为假．()(3)逻辑联结词“且”只能出现在命题的结论中．()【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2“或”阅读教材P11倒数第1自然段～P12部分内容，完成下列问题．1．定义一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________．读作“__________________”．【答案】p∨q p或q2．真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是________________；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是________________________．【答案】真命题假命题判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若“p∨q为假命题”，则“p为假命题”．()(2)梯形的对角线相等且互相平分是“p∨q”形式的命题．()(3)若命题p为真，则命题“p∨q”为真命题．()【答案】(1)√(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型](1)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．【自主解答】(1)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．(2)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．。