学习必备欢迎下载几何概型知识与常见题型梳理几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。

一基本知识剖析1. 几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2.几何概型的概率公式：构成事件 A的区域长度（面积或体积）P（A）=的区域长度（面积或体；试验的全部结果所构成积）3.几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个基本事件出现的可能性相等．4.几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。

这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。

通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。

因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。

下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。

二常见题型梳理1. 长度之比类型例 1.小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，时一班，求小赵等车时间不多于10 分钟的概率．已知该站发往各站的客车均每小例 2 在长为 12cm的线段 AB上任取一点 M，并以线段 AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于 36cm2与 81cm2之间的概率．2.面积、体积之比类型例 3.（08江苏高考6） . 在平面直角坐标系xoy 中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随意投一点，则落入 E 中的概率为。

3. 角度之比型ABC 中，过直角顶点 C 在 ACB 内部做一条射线 CM ，与 例 4. 如图所示，在等腰直角 线段 AB 交于点 M ，求 AMAC 的概率。

CA M D B4. “会面”类型的几何概型例 5. 某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天 9 点到 10 点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠 20 分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

5. 与其他章节知识综合类例 6. 已知两数 m ， n 是某事件发生的概率取值， 则关于 x 的一元二次方程 x 2 nx m 0有实根的概率是（ ） A.1B.1 C.1D.1 24816经典例题：如图， AOB 60 ， OA 2 ， OB 5 ，在线段 OB 上任取一点 C ，试求： (1) AOC 为钝角三角形的概率；A(2) AOC 为锐角三角形的概率．O D C E B当堂练习：1．从一批羽毛球产品中任取一个， 其质量小于 4.8g 的概率为 0.3 ，质量小于 4.85g的概率为 0.32 ，那么质量在 [4.8 ，4.85] （ g ）范围内的概率是（ ）A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.68．在长为 的线段 AB 上任取一点 P ，并以线段 AP 为边作正方形，这个正方形2 10 cm的面积介于 25 cm 2与 49 cm 2之间的概率为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．4105553．同时转动如图所示的两个转盘， 记转盘甲得到的数为 x ，转盘乙得到的数为 y ，构成数对（ x ，y ），则所有数对（ x ，y ）中满足xy ＝ 的概率为（）4A ．1B ．2C ．3D ．116 161641212甲乙4 3 4 34．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色， 每个图形只能涂一种颜色， 则三个形状颜色不全相同的概率为 A ．3B ．3C ．1D ．148 485．两人相约 7点到 8点在某地会面，先到者等候另一人 20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为（ ） A ．1B ．4C ．5D ．73 99106如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ） A ．2B ．1C ．2D ．1337．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45 ，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ ）A ．1B ．1C ．1D ．384248．现有 100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取 20ml 的蒸馏水，抽到细菌的概率为 ． 1 C( ) D ． 1 A ． 1B ．1100 201059．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00 至7:00和下午 5:00 至 6 : 00 ，则该船在一昼夜内可以进港的概率是 （ )1111A ．4B．8C． 10D． 1210．在区间 [0,10] 中任意取一个数，则它与 4 之和大于 10 的概率是（）1232A ． 5B ． 5C ． 5D ． 711．过正三角形 ABC 的顶点 A 任作一条直线 L ，则 L 与线段 BC 相交的概率为 ( )1111A ．2B．3C．6D． 12 12．在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察， 则发现草履虫的概率是（ ） A ．0.5 B ．0.4 C ．0.004 D ．不能确定13．平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线，把一枚半径 r<a 的硬币任意掷在这个 平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率（ c ）rra r a rA ．aB ．2 aC ． aD ． 2 a14．已知地铁列车每 10min 一班，在车站停 1min ．则乘客到达站台立即乘上车的 概率为 15．随机向边长为为锐角的概率是．2的正方形 ABCD 中投一点 P, 则点 P 与A 的距离不小于__________________． 1且与CPD16．在区间 (0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于5 的概率是．617．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上 7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为 _______．18．飞镖随机地掷在下面的靶子上．（1）在靶子 1中，飞镖投到区域 A 、B 、C 的概率是多少？（2）在靶子 1中，飞镖投在区域 A 或B 中的概率是多少？在靶子 2中，飞镖没有投在区域 C 中的概率是多少？CBABAC19．一只海豚在水池中游弋，水池为长 30m ，宽 20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率．20．在长度为 10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．几何概型练习1. 某广播电台每当整点或半点时就会报时，某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台，问这人等待的时间不超过５min 的概率是＿＿＿＿＿＿．2. 已知地铁列车每 10min 一班，在车站停１ min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为＿.3. 在线段 [0,3] 上任取一点 , 其坐标小于 1 的概率是 _____________.4. 在地球上海洋占 70.9%的面积 , 陆地占 29.1%的面积 , 现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来 , 将落在地球的某一角 . 你认为陨石落在陆地的概率约为 _____________, 落在我国国土内的概率为 ________.( 地球的面积约为 5.1 亿平方千米 ) 5.从区间 (0,1) 内任取两个数 ,则这两个数的和小于5的概率是()A.34 1617 6B.C.D.55 25256.A 是圆上固定的一定点 , 在圆上其他位置任取一点 B, 连接 A 、B 两点 , 它是一条弦 , 它的长度大于等于半径长度的概率为( )A. 1B.2 C.3 D.123 247. 已知集合 A=9, 7, 5, 3, 1,0,2,4,6,8 , 在平面直角坐标系 x0y 中 , 点 x, y 的坐标xA, y A ,点 x, y 正好在第二象限的概率是()A. 1B.1 C. 1 D. 234 5 58．取一根长度为３ m 的绳子， 拉直后在任意位置剪断， 那么剪得两段的长都不小于１m 的概率有多大？9．在１万平方千米的海域中有 80平方千米的大陆架贮藏着石油. 假设在海域中的任意一点钻探 , 钻到油层面的概率是多少？10. 在 10 立方米的沙子中藏有一个玻璃球, 假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的 , 若取出 1 立方米的沙子 . 求取出的沙子中含有玻璃球的概率.11．甲、乙两人约定在６时到７时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．12. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头, 它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的 , 如果甲船停泊时间为 1h, 乙船停泊时间为空出的概率 .2h, 求它们中的任意一艘都不需要等待码头§ 3.2 几何概型经典例题 ：解：如图，由平面几何知识：当 AD OB 时， OD 1 ； 当 OA AE 时， OE 4，BE 1．（１）当且仅当点 C 在线段 OD 或 BE 上时， AOC 为钝角三角形 记＂ AOC 为钝角三角形＂为事件 M ，则 P( M )OD EB 1 1 OB0.4即 AOC 为钝角三角形的概率为 0.4 ．5（２）当且仅当点 C 在线段 DE 上时， AOC 为锐角三角， 记＂ AOC 为锐角三角＂为事件 N ，则 P( N )DE 3OB0.65即 AOC 为锐角三角形的概率为 0.6 ．当堂练习 ：1.B;2.B;3.C;4.A;5.C;6.A;7.A;8.B;9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.41;15.arcsin25; 17. 87.5%;5;16.1172218. （1）都是 1 ；（2） 2; 3。

33 419. 解：由已知可得，海豚的活动范围在 26×16 ㎡的区域外，所以海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率为 26 16 。