第四章平面向量
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1.平面向量的实际背景及基本概念
(1)了解向量的实际背景；
(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等
的含义；
(3)理解向量的几何表示.
2.向量的线性运算
(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.
3.平面向量的基本定理及其坐标表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意义；
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
4.平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
(2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题. 本章重点：
1.向量的各种运
算；
2.向量的坐标运
算及数形结合的
思想；
3.向量的数量积
在证明有关向量
相等、两向量垂
直、投影、夹角等
问题中的应用.
本章难点：
1.向量的直角坐
标运算在证明向
量垂直和平行问
题中的应用；
2.向量的夹角公
式和距离公式在
求解平面上两条
直线的夹角和两
点间距离中的应
用.
向量是近代数学中重
要和基本的数学概念之
一，它是沟通代数、几何
与三角函数的一种工具，
有着极其丰富的实际背
景，同时又是数形结合思
想运用的典范，正是由于
向量既具有几何形式又具
有代数形式的“双重身
份”，所以它成为中学数
学知识的一个交汇点.在
高考中，不仅注重考查向
量本身的基础知识和方
法，而且常与解析几何、
三角函数、数列等一起进
行综合考查.
在考试要求的层次上更加
突出向量的实际背景、几
何意义、运算功能和应用
价值.
知识网络
4.1 平面向量的概念及线性运算
典例精析
题型一向量的有关概念
【例1】下列命题：
①向量AB的长度与BA的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量AB与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.
其中真命题的序号是.
【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④
错.故是真命题的只有①.
【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.
【变式训练1】下列各式：
①|a|＝
a a•；
②(a•b) •c＝a• (b•c)；
③OA－OB＝；
④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；
⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b). 其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选 D.| a|＝a a •正确；(a •b) •c ≠a • (b •c)； OA －OB ＝BA 正确；如下图所示，
MN =MD +DC +CN 且MN =MA +AB +BN ，
两式相加可得2MN ＝AB ＋DC ，即命题④正确；
因为a ，b 不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a ＋b ，a －b 为菱形的两条对角线， 即得(a ＋b)⊥(a －b). 所以命题①③④⑤正确.
题型二 与向量线性运算有关的问题
【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且
DM =DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC
31,设AB =a, AD =b,试用a 、b
表示AM ，AN ，MN .
【解析】在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝1
2
(a －b)，
AO ＝OC ＝12
AC ＝12
(AB ＋AD )＝12
(a ＋b).
又DM ＝13DO ， ON ＝1
3OC ，
所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1
3DO
＝b ＋13×12(a －b)＝16a ＋56
b ，
AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋13
OC
＝43OC ＝43×12(a ＋b)＝2
3(a ＋b). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b)－(16a ＋56b)＝12a －16
b. 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点
P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝1
2时，则PA •(PB ＋PC )的值为 .
【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，
即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝1
2(AB ＋AC )，
所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ， 所以BP ＝PC ，
所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0，
所以PA • (PB ＋PC )＝PA •0＝0，故填0. 题型三 向量共线问题
【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.
(1)若AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b)， 求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线.
【解析】(1)证明：因为AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b)， 所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝5(a ＋b)＝5AB ， 所以AB ， BD 共线.又因为它们有公共点B ，
所以A ，B ，D 三点共线.
(2)因为ka ＋b 和a ＋kb 共线，
所以存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a＋kb)， 所以(k －λ)a＝(λk－1)b.
因为a 与b 是不共线的两个非零向量，
所以k －λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k ＝±1.
【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
【变式训练3】已知O 是正三角形BAC 内部一点，OA +2OB +3OC =0，则△OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（ ） A.32 B.23
C.2
D.13
【解析】如图，在三角形ABC 中， OA ＋2OB ＋3OC ＝0，整理可得OA ＋OC ＋2(OB ＋OC )
＝0.令三角形ABC 中AC 边的中点为E ，BC 边的中点为F ，则点O 在点F 与点E 连线的1
3处，
即OE ＝2OF.
设三角形ABC 中AB 边上的高为h ，则S △OAC ＝S △OAE ＋S △OEC ＝12•OE • (h 2＋h 2)＝1
2OE ·h ，
S △OAB ＝12AB •12h ＝1
4
AB ·h ，
由于AB ＝2EF ，OE ＝2
3
EF ，所以AB ＝3OE ，
所以S △OAC S △OAB ＝h h AB OE ••41
21
＝23
.故选B.
总结提高
1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.
2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.
3.当向量a 与b 共线同向时，|a ＋b|＝|a|＋|b|； 当向量a 与b 共线反向时，|a ＋b|＝||a|－|b||； 当向量a 与b 不共线时，|a ＋b|＜|a|＋|b|.。