2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。

1．抛物线22y x =的焦点坐标是A ．10（，）B ．102（，）C ．104（，）D ．108（，）2．若{a ，b ，}c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A ．+b c ，b ，-b c B ．a ，+a b ，-a bC ．+a b ，-a b ，cD ．+a b ，++a b c ，c3．方程22x y x y -=+表示的曲线是A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．双曲线4．如图1，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ． 设11A B =a ，11A D =b ，1A A =c ，则下列向量中与12B M 相等的向量是A ．2-++a b cB ．2++a b cC ．2-+a b cD ．2--+a b c5．椭圆221259x y +=与椭圆221259x y k k+=--（9k <）的 图1A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为1n 和2n ，则cos θ=A ．1212||||n n n nB ．1212||||||n n n nC ．1212||||n n n n D ．1212||||||n n n n17．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在A ．圆上B ．椭圆上C ．抛物线上D ．双曲线的一支上8．以(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．已知点P 在抛物线24y x =上，点Q 在直线3y x =+上，则||PQ 的最小值是A ．2B C D ．10．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，1D ，1F 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是A B ．12C D 11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率2e =，若A ，B ，C 是双曲线上任意三点，且A ，B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为A ．2B ．3C D 12．已知空间直角坐标系O xyz -中，P 是单位球O 内一定点，A ，B ，C 是球面上任意三点，且向量PA ，PB ，PC 两两垂直，若2Q A B C P =++-（注：以X 表示点X 的坐标），则动点Q 的轨迹是 A ．O 2OP -为半径的球面 B ．O 22OP 为半径的球面C ．P 2OP -为半径的球面 D ．P 22OP 为半径的球面二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．双曲线224640x y -+=上一点P 与它的一个焦点间的距离等于1，那么点P 与另一个焦点间的距离等于 ．14．PA ，PB ，PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 ．15．图2为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30︒．已知礼物的质量 为1kg ，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过 程中每根绳子拉力的大小为 ．（注：重力加速度g 取29.8m /s ，精确到0.01N ） 图216．已知椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -． （1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量a 分别与AB ，AC 垂直，且||3=a ，求向量a 的坐标．18．（本小题满分12分）设抛物线22y px =（0p >）上的点M 与焦点F 的距离为52，到y 轴的距离为2p ． （1）求抛物线的方程和点M 的坐标；（2）若点M 位于第一象限，直线2y x =-与抛物线相交于A ，B 两点， 求证：MA MB ⊥．如图3，在三棱锥O ABC -中，G 是△ABC 的重心（三条中线的交点），P 是空间任意一点． （1）用向量OA ，OB ，OC 表示OG ，并证明你的结论；（2）设OP xOA yOB zOC =++，,,x y z ∈R ，请写出点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）．图320．（本小题满分12分）已知动点M 与定点(,0)F c 的距离和M 到定直线l ：2a x c =的距离的比是定值ca（其中0a >，0c >）．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）当a ，c 变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状．如图4，四边形ABCD 为梯形，四边形CDEF 为矩形，平面ABCD ⊥平面CDEF ，︒=∠=∠90ADC BAD ，CD DE AD AB 21===，M 为AE 的中点．（1）证明：//AC 平面MDF ；（2）求平面MDF 与平面BCF 的夹角的大小．图422．（本小题满分12分）已知直线l：0x y +-=经过椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）右焦点，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，OM 的斜率为13（O 为坐标原点）． （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与圆C ：222x y r +=（0r >）相切，且圆C 的动切线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值．ABCD E FM2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。

12．解：选择B ．由2Q A B C P =++-得，()()()Q P A P B P C P -=-+-+-，即PQ PA PB PC =++． 又PA ，PB ，PC 两两垂直，所以Q 是以PA ，PB ，PC 为三条相邻棱的长方体中与顶点P 相对的顶点． 由OQ OP PA PB PC =+++，得222222()OQ OP PA PB PC OP PA PB PC =++++++．（*） 又OA OP PA =+，所以22212OA OP PA OP PA ==++，同理22212OB OP PB OP PB ==++，22212OC OP PC OP PC ==++． 三式相加，得2222332()OP PA PB PC OP PA PB PC =++++++， 代入（*）式，得2232OQ OP =-，即2||32OQ OP =-（定值）． 所以，动点Q 的轨迹是以O 22OP 为半径的球面．注：本题也可以采用排除法．分别考虑P 与O 重合和点P 在球面上两种极端情形，研究即得答案．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 17 14．15． 1.41（N ） 16．3(2y x x =-<注：1、第15小题中，无单位（N ）不扣分；（2）第16小题中，未注明x 不给分．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知空间三点(0,2,3)A ，(2,1,6)B -，(1,1,5)C -． （1）求以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量a 分别与AB ，AC垂直，且||=a ，求向量a 的坐标．解：（1）由已知(2,1,3)AB =--，(1,3,2)AC =-，……………………………………………1分所以||(AB =-2||1AC =；…………………2分21(1)(3)327AB AC =-⨯+-⨯-+⨯=．……………………………………………………3分故以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积等于222||||sin ,||||||14AB AC AB AC AB AC AB AC =-==分 （2）设(,,)x y z =a ，由已知，得2222303203x y z x y z x y z ⎧--+=⎪-+=⎨⎪++=⎩…………………………………………6分2223x zy zx y z ⎧=⎪⇔=⎨⎪++=⎩……………………………………………………………………………7分 1x y z ⇔===± ………………………………………………………………………………8分所以，向量(1,1,1)=a 或(1,1,1)=---a ． (10)分18．（本小题满分12分）设抛物线22y px =（0p >）上的点M 与焦点F 的距离为52，到y 轴的距离为 （1）求抛物线的方程和点M 的坐标；（2）若点M 位于第一象限，直线2y x =-与抛物线相交于A ，B 两点，求证：MA MB ⊥． 解：（1）由抛物线的定义知，点M 到准线2p x =-的距离为52，…………………………………1分 即有522p +．………………………………………………………………………………2分 解之，得5)0=，1p =． ………………………………………………………3分所以，抛物线的方程为22y x =， ………………………………………………………………4分 点M 的坐标为(2,2)或(2,2)-． ………………………………………………………………6分证明：（2）联立直线2y x =-与抛物线22y x =的方程，222y xy x =-⎧⎨=⎩，……………………………7分解之，得31x y ⎧=⎨=--⎩31x y ⎧=⎨=-⎩(31A +-，(31B -或(31A -，(31B +-．…………………………………………………10分又(2,2)M，所以2(3)5115MA MBk k --⋅===--．故MA MB ⊥．……………………………………………………………………………………12分 注：1、点A ，B 的坐标只需写出一组；2、也可以利用根与系数的关系证明1MA MB k k ⋅=-（略）． 19．（本小题满分12分）如图3，在三棱锥O ABC -中，G 是△ABC 的重心（三条中线的交点），P 是空间任意一点． （1）用向量OA ，OB ，OC 表示OG ，并证明你的结论；（2）设OP xOA yOB zOC =++，,,x y z ∈R ，请写出点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）．解：（1）1()3OG OA OB OC =++．…………………………2分证明如下：OG OA AG =+23OA AD =+…………………………4分 21()32OA AB AC =+⨯+ …………………………6分1[()()]3OA OB OA OC OA =+-+-1()3OA OB OC =++． ………………………………7分 图3 （2）设OP xOA yOB zOC =++，,,x y z ∈R ，则点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件是：1x y z ++=，………………………………………………………………………………………9分且01x <<，01y <<，01z <<．………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）已知动点M 与定点(,0)F c 的距离和M 到定直线l ：2a x c =的距离的比是定值ca（其中0a >，0c >）．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）当a ，c 变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状．解：（1）设(,)M x y||ca x c=-．……………………………………………2分2||c a x a c =-，两边平方，得222222()()c a x c y x a c-+=-，化简，得动点M 的轨迹方程为22222222()()a c x a y a a c -+=-．……………………………5分 （2）因为0a >，0c >，所以当0a c =>时，（1）中轨迹方程化为0y =，它表示的曲线是直线x 轴；……………………7分当0a c >>时，（1）中轨迹方程化为222221x y a a c +=-，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，长半轴长为a9分当0c a >>时，（1）中轨迹方程化为222221x y a c a-=-，它表示中心在原点，焦点在x 轴上， 实半轴长为a…………………………………………………12分21．（本小题满分12分）如图4，四边形ABCD 为梯形，四边形CDEF 为矩形，平面ABCD ⊥平面CDEF ，︒=∠=∠90ADC BAD ，CD DE AD AB 21===，M 为AE 的中点．（1）证明：//AC 平面MDF ；（2）求平面MDF 与平面BCF 的夹角的大小．证明：（1）（法1）连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ．………1分 因为四边形CDEF 为矩形，ABCD EFMN所以N 为CE 中点． 图4 又M 为AE 的中点，所以，在△EAC 中，MN AC //．……………3分⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄MDF MN MDF AC MNAC 平面平面//⇒//AC 平面MDF ．……………………………………………………5分 （法2）因为四边形CDEF 为矩形，且M 为AE 的中点，所以AC DC DA =-………………………………………………………………………………1分()(2)DF DE DM DE =---2DF DM =-．…………………………………………………………………………3分从而AC 与DF ，DM 是共面向量．又/AC ⊂平面MDF ，所以//AC 平面MDF ．………………………………………………5分 解：（2）因为四边形CDEF 为矩形，所以DC ED ⊥又平面ABCD ⊥平面CDEF ，⊂ED 平面CDEF ，平面ABCD 平面CDEF DC =，所以⊥ED 平面ABCD ．…………………………7分而︒=∠90ADC ，所以，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DE 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，如图5． 图5设a AB =，由已知，得⎪⎭⎫ ⎝⎛=2,0,2a aDM ，()a a DF ,2,0=，()0,,a a CB -=，()a CF ,0,0=．设平面MDF 的一个法向量为()z y x ,,1=n ，则⊥1n DM ，且⊥1n DF ， 所以⋅1n 0=DM ，且⋅1n 0=DF ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02022az ay z a x a，取2-=z ，得2=x ，1=y ，即()2,1,21-=n ．同理，可求得平面BCF 的一个法向量为()0,1,12=n ． ………………………………10分 ||||,cos 212121n n n n n n ⋅=〉〈22011)2(120)2(1112222222=++-++⨯-+⨯+⨯=． 所以，平面MDF 与平面BCF 的夹角为︒45． ………………………………12分22．（本小题满分12分）已知直线l：0x y +-=经过椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）右焦点，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，OM 的斜率为13（O 为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与圆C ：222x y r +=（0r >）相切，且圆C 的动切线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值．解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减并整理，得2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+， 即22l OM b k k a⋅=-． 所以2211133b a -=-⨯=-．……① ………………………………………………………………2分 又直线l：0x y +-与x轴的交点为0)，由已知，得222a b -=．……②…………………………………………………………………3分 联立①②，解得23a =，21b =． 所以，椭圆的方程为2213x y +=．………………………………………………………………5分 （2）由直线l：0x y +=与圆C ：222x y r +=（0r >）相切，得r =，所以1r =，圆C ：221x y +=． …………………………………………6分又设动切线PQ ：x my n =+，（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分） 由2213x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222(3)230m y mny n +++-=．………………………………7分所以12|||PQ y y =-==．………………………………………………………8分 又直线PQ ：x my n =+与圆C ：221x y +=相切，1=，即2211n m =+≥，从而||PQ =． 所以，△OPQ面积21||||122OPQ n S PQ n ∆=⋅=+||||n n =≤=+ ………………………………9分 令2||||n n =，解得||1n =≥，相应的||1m =． …………………………………………10分 所以，使△OPQ 面积最大的直线PQ共有四条：0x y ±+=和0x y ±=． 故△OPQ面积的最大值为2．………………………………………………………………12分。