Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
O
也就是在 图2 中研究不同的圆
心角 AOB 、AOB ，以及它们 所对的弧 AB 、AB , 弦AB 、AB , 弦的弦心距 OM、OM 之间的关
系。
猜 想：
图2
1. 若AOB AOB,则AB ? AB， AB ? AB , OM ?OM .
要证AB=CD ，只需证OM=ON
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N 。
MPO NPO
OM AB ON CD
OM=ON P
AB=CD
BE
. A M O
C
ND
F
你能将⊙Ｏ二等分吗？
作法： 作⊙Ｏ的直径ＡＢ。
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｃ
用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．
ＡＯ
Ｂ
Ｄ
作法： １、作⊙Ｏ的直径ＡＢ。 ２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于
点Ｃ和点Ｄ。 点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四等分
你能将任意一个 圆八等分吗？
如图： ⊙Ｏ的直径AB垂直于弦CD,AB与CD相交于点E，
∠ COD＝1000，求BC,AD的度数
解:∵OC=OD,OE⊥CD
A ∴∠1= ∠2
∵∠COD=1000
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧、两条弦或两条弦的弦 心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余的各组量都分别相等。
例1 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外， 以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。
求证：AB=CD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
2 . 点A与A' ，点B与B' 重合吗？ 为什么？
图4
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗？为什么？
4 . OM 与OM' 呢？为什么？
于是，若∠AOB = ∠A'OB' ， 则 AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM' .
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果 ∠AOB= ∠ A'O'B'
O
∴∠1=∠2=500
12
∴B⌒C=500 B⌒D=500
C
ED
∴A⌒D=A⌒DB-B⌒D
=1800-500
B
=1300
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 .
∵ AOB AOB
OB与OB重合
图5
∵ OA OA,OB OB
A与 A重合,B与 B重合
AB AB, AB AB
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
条件
在同圆或等圆中 如果圆心角相等
心到弦的距离，叫弦心距 , 图1
中，OM为AB弦的弦心距。
OM是唯一的。
B M
O
A
图1
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是（④）
┐
①
②
┐
③
④
由上分析，任意给圆心角，对应出现 四个量：
弧 圆心角
弦 弦心距
课题
圆心角
弧
之间的关系
弦 弦心距
下面我们一起来观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？（请举出
那么 AB?=A'B' 、AB=? A'B' 、OM=?O'M',
为什么？
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。
已知：如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、OM'
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
求证: AB=CD，A⌒B = C⌒D。 证明:∵OA=OC ，OB=OD， ∠AOB=∠COD,
∴ 当点A与点C重合时，
点B与点D也重合。
∴ AB=CD， ⌒⌒
∴ AB = CD。
A B
o
C D
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦也相等。
ＡB=CD吗？
弧AB与弧CD呢？
两个例子，并说出圆心角所对的弧，弦。）
如果：
A
∠AOB=∠ COD
B
☺
o C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
☺
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图： ∠AOB=∠COD
B
☺
o
C
D
已知:如图∠AOB=∠ COD,
2 .若AOB AOB ,情况又如?何
圆的旋转不变性：
圆绕圆心旋转任意角α，都能 够与原来的圆重合。
注： α=180O 旋转， 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
图3
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
1 . 射线OB与射线OB'重合吗?为什么?
土城子中学—张晓梅
圆绕圆心旋转
A
Hale Waihona Puke .BO
圆的旋转不变性：
圆绕圆心旋转任意角α，都能 够与原来的圆重合。
注： α=180O 旋转， 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
图3
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如AOB , 圆心角 AOB 所对
的弧为 AB，所对的弦为AB；
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆
结论
那么
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
那么
弦所对的圆心角相等 弦所对的弧（指劣弧）相等 弦的弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等