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( 1 ) 必须区分语言的层级， 即必须区分我们所 说的对象语言与元语言! 如"在对象语言 " 中真 # ， #在 元 语 言 - 中 就只能在元语言 - 中 得 到 定 义 真# 就只能在元语言 - 中得到定义; ( 5) #真# 与"可证 # 并非是等价的! 塔尔斯基 的真定义是不是适用于任何结构的一阶语言中真概 念的定义， 即是否适用包含算术系统中真概念的定 义!这个问题哥德尔已经指出， 在数论系统中， 真是 %哥德尔: 自信与谨慎 ) 不能定义的!费弗曼在 也谈 : #哥德尔在塔尔斯基之前并未给出真定义， 到 很显 然， 他预言了塔尔斯基建立的， 至少在算术中*真 (
349 53 收稿日期: 13039
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作者简介: 谢佛荣( 04;5 8 ) ， 男， 江西省赣州市人， 南京大学在读博士研究生， 南京师范大学， 泰州学院讲师， 研究方向: 逻辑哲学与科学逻辑! ,./0&: EFG011H 0:52 ICJ
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首先， 哥德尔对 >- 系统中的每一个原始符号’ 公式’ 证明都指定一个独一无二的自然数 ， 即哥德尔 数!哥德尔这样做的目的是"不管是基本符号， 符 " "都能被赋予唯一的哥 号串， 或者这种串的序列" 德尔数!一旦给出了一个表达式， 就可以计算出唯 ［0 ］ # ! 一与之对应的哥德尔数 其次， 就是通过可表达性与递归性把元数学命 题精确地映射到 >& 中的合式公式! 他之所以这样 做的目的就是把对命题的真假断定转换为对命题可 表达性的断定， 使真理与意义结合起来! 为以后在 证明过程中使用自指命题而又可以避免悖论是非常 ， #哥德尔下面构造的公式 ? 的 关键的一步! 因为 "说谎者悖论# 直观含义与 有相似的地方! ’: ’ 是假的( 即 "本语句是假的$ )% ?: ? 是在 >& 中不可证的 ( 即"本语句在 >& 中 ) ［1］! 是不可证的$ ? 只不过把语义概念"假 # 从这里可看出， 换成 ， 了一个语形概念"不可证的 $ 这样后者就不 会 像 "说谎者悖论# 中的语句那样导致悖论， 从而通过这 样的转换避免悖论的发生! 因此， 这一步的转换是 为哥德尔构造一个避免悖论出现的命题 ? 做准备 的! 再次， 这一步哥德尔整个证明的主要轮廓 ， 也是 证明哥德尔不完全定理的论证核心! 因此， 笔者分 几个小点来简要阐述这一点的证明顺序! 第一点， 在 >- 中构造一个公式 ?， 公式 ? 表达这样一个元 : &使用演绎系统的规则， % 数学命题 公式 ? 不可证 ’ 第二点， 哥德尔证明， 如果 >- 是一致的， 那么 ? 和 K ? 两者都不可能从 >- 的公理中推导出来! 也就 是说， 如果 >- 是一致的， 那么 ? 是一个形式不可判 定的!第三点， 哥德尔进而要表明一点， 虽然 ? 是 不可判定的， 但却是一个真的元数学命题!第四点， 哥德尔在第三点的基础上证明出的结论， 更进而表 明， 因为 ? 是真的， 但却在 >- 系统中不可证， 因此， 可以得出 >- 算术形式系统是不完全的!这里可能 有人试问， 我们可以把 ? 作为新公理加入到 >- 中 ， >- ( 形成一个 >- 的扩充系统 >-’ 这样的话， 就可 以试完全!但事实并非如此， 哥德尔已经作出证明， 按照前面的程序， 我们同样可以在 >- ( 中找到另一 个真却不可判定的命题 ?! 并且这样可以以至无 >- 的一致性无法 穷!第五步， 就是得出一个推论， 在系统内得到证明， 这也是我们所说的哥德尔的第 二不完全性定理!
"真# "可证# "真 # ? !真 # 的思考空间和反思力度 !首先， 既然 与 不能等同的， 那么 是否可定义的 与 "可证# 两个概念之间到底是一种什么关系? 其次， 它是否意味着我们的知识是不确定的， 如果能 表明知识不是确定的， 那我们是不是在知识的可靠性上要承认彻底的怀疑主义? 再次， 在人工智能 化的今天， 人的主体性地位受到严重的挑战， 那是否意味着如后现代主义哲学家所说人的主体性将 被抹去? 等等! 关键词: 哥德尔不完全性定理; 真; 可证; 怀疑主义; 主体性 中图分类号: %47 8 31 文献标识码: & :73; ( 1301 ) 309 33309 36 文章编号: 03369
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哥德尔不完全性定理
哥德尔在其论文中攻克的是数学基础的一个核 心问题， 即一致性问题!从古希腊用"公理方法 # 发 展几何学以来， 大多数学思想家们都把公理化的几 何学视为科学知识的典范! 所谓"公理方法 # 就是 从一些不加证明的命题当作公理， 然后从这些公理 推导出所有命题! 特别是随着 13 世纪以后数学形 式化的进一步盛行， 当时数学思想者普遍认为， 数学 ， 思想的每一个分支都可以找到一组公理 然后从其 出发推出所有的真命题!但哥德尔不完全性定理却 证明了公理化方法的局限!哥德尔在其论文中证明 了两个最重要结果: 第一， 在任何一个广泛的足够包含整个算术形
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Hale Waihona Puke ［5 ］!哥德尔不完全性定理的哲学思考
哥德尔不全性定理的重要意义影响深远， 它表 明对任何足够丰富的数学形式系统来说， 系统内总 会存在一个不可判定的真命题!它已具有非常高的 科学和哲学价值， 其思想已经影响到自然科学乃至 人文科学的各个角落， 对数学’ 逻辑’ 语言’ 人工智 能’ 自然科学’ 思维科学和认识论的研究都提供了非 : #哥德 常高的研究价值! 正如哥王浩教授所评价 尔教授的工作已经引起现代逻辑的革命， 从数学上 也从哲学大大提高了它的重要性 !他所做的数学与 % 因此， 哲学出奇的意味深长， 美， 超脱宿怨 $ 笔者 下面分析哥德尔不全性定理对哲学所蕴含的哲学意 义! 1L 0 "真# "可证# 与 两者概念的区分 在哥德尔不完全性定理整个证明过程中， 哥德 尔明确指出"真 # 与"可证 # 这两个概念之间是不能 等同的， 需对这两个概念做一个明确的区分! 在他 ( #真公式 # 看来， 证明过程中出现的"真$ 这些概念 不能直接地归为公式的组合性质， 而是要与这些记 "可证 $ ( #可证公式 # 则 号的意义密切相关的!而像 "真# 与 等概念则完全不一样， 公式的可证性纯粹是 一种形式， 它并不需要依赖这些记号的含义 !因此， ， #真 # 可以分析得出 是一个语义概念， 而"可证 # 却 %#真 # 是一个语法概念 与"可证 # 并非同一! 笔者 认为， 既然在哥德尔看来， 在任何一个数论系统中， 总是会存在这样一个不可判定的真命题 ， 那么 "真# 究竟是可定义的还是不可定义的? 0450 年 M 月 1 日哥德尔在与维也纳小组谈到"真 # 这个问题时就 : #在算术 指出， 在算术中， 真是不能定义的! 他说 化的元逻辑中有些普通概念不可定义 !证明这一点 的方法就是假定该概念， 再由此推出矛盾; 在论证中 我们必须默认算术的一致性!真数论公式就是不可 % 并且他认为， 定义的$ 在更高的递归模式中能够 定义真公式和真公式的类， 但这时， 递归模式"类型 %同时在更高层级的模式中仍有真概念 进入超穷$ 在更高层级模式定义! 而塔尔斯基在%形式化语言 中的真概念) 一文中所涉及到的观点恰恰与上述的 论点非常一致!塔尔斯基认为， 一个可接受的真定 义应该满足两个限制条件: 一是实质的充分性或内 二是形式的正确性! 而真定义形式正 容的适当性， 确性必须满足以下三个要求: ( 0 ) 在同一层级语言不能进行语言本身的真定 义;
0450 年， 一个名为库尔特 $ 哥德尔发表了一篇 题名为%论 < 数学原理 = 及相关系统的不可判定命 ， 题! 在这篇论文中， 提出了被誉为"逻辑和数学史 # " "哥德尔不完 上的一座里程碑 的一条重要定理" 全性定理!其结论， 不仅标志着现代逻辑发展新阶 段的开始， 而且对哲学而言， 也具有革命性的意义， 蕴含了极其深刻的哲学意义! 因此， 本文试通过对 哥德尔不完全性定理的分析与说明， 探讨其对哲学 所蕴含的意义及价值， 来揭示它在哲学上所引发的 思考与启迪!
［: ］ 的不可定义# !
见或信念是不可靠’ 不确定的! 因此， 两千多年来， 人们的认识总是在思维中舍弃对象世界和自身的不 确定性的因素， 在思维与存在之间建立一种同构关 系， 通过思维的确定性来建构对象的确定性 ， 从而达 ! 到对对象确定性的认识 而哥德尔的不完全性定理 却表明， 我们可以知道存在一个真命题， 但我们无法 通过一定的程序来证明它是真的 !这恰恰可以间接 透视出， 不确定性的知识本来就是我们在认识对象 世界过程中思维本身所固有的一种知识状态 ， 即使 在纯数学领域也无法达到知识的真正确定性 !王浩 : #哥德尔直言不讳地说过， 说 我们没有任何绝对确 定的知识!言外之意， 哪怕极其简单的事情， 我们也 无绝对把握说自己完全捕获了堪称终审法庭的客观 ［M ］ 实在))$ ! 上述表明， 我们并不能追求知识的绝对确定性 ， 真正绝对的确定性是没有的!这是否意味着我们的 知识不是完全可靠的， 在承认知识的可靠性上， 需转 向承认彻底的怀疑主义? 我们知道， 怀疑主义是对 我们人类知识状况的一种主张， 即对知识标准的界 定及对知识的可靠性与可信赖性进行怀疑 !怀疑主 义的最早代表者是古希腊哲学家皮浪! 皮浪认为， 现象是存在的， 但存在的所有现象都是不真实的 ! 他进而认为， 既然现象都不具有真实性， 那么我们就 无法从现象中得到真正的知识， 我们也就不能断定 我们的感觉是真的， 也不能断定我们的感觉是错的! % 并且他还 因此， 他主张一切问题实行"中止判断 $ 认为， 对于每一个命题都可以提出一个相反的命题 与之对立， 二者具有同样的价值和效力， 所以一切独 断论都是不能成立了! 由此可得出， 皮浪的怀疑主 义主张不相信任何事物， 不作任何断定， 走向了一个 极端!这种观点， 我们称之为彻底的怀疑主义! 其 最大特点是对知识的一种否认， 认为没有绝对正确 的知识， 任何知识都是可怀疑的， 都是不真实的!从 "以怀疑为目的 $ ， 而使它只能 甚至怀疑它的怀疑本 身， 从而导致在逻辑无法自圆其说!因此， 彻底的怀 疑主义只有破坏性， 而没有建设性， 不相信任何事 物， 不相信任何知识， 对知识的可靠性作一个彻底的 怀疑!但哥德尔的不完全性定理只是表明， 对算术 形式系统的公理化处理并不能真正地刻画数论真理 的性质， 是对形式主义’ 逻辑主义和人工智能所倡导 的形式化语言的某种不可避免的局限性的一种表 明!而这个并不是对知识论的一种否认， 并不意味 "真# 着我们无法对 获得真正的认知! 因为， 我们虽 然从给定的一组公理出发和推演规则无推导出所有