因子得分


因子分析中各个变量的公共因子取值称为因子 得分。从因子分析模型知道，原始变量是公共 因子的线性组合和特殊因子之和。 SPSS提供了三种估计因子得分的方法，它们是 Thomson回归法、Bartlett法和AndersonRubin法。
因子分析案例

SPSS因子分析的菜单是【分析】→【降维】→ 【因子分析】
.855 2 888.038 300 .000
因子分析结果（2）
成份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
初始特征值 合计 6.50 3.82 2.50 1.68 1.09 0.93 0.85 0.79 0.73 0.70 方差的% 26.02 15.28 10.01 6.74 4.34 3.73 3.41 3.15 2.93 2.78 累积% 26.02 41.30 51.31 58.05 62.39 66.12 69.53 72.67 75.60 78.38 合计 6.50 3.82 2.50 1.68 1.09
本章要求



了解因子分析模型的基本理论； 了解因子分析法的应用条件 因子分析模型的求解方法； 掌握因子分析法的应用； 掌握因子分析法输出结果的解释； 了解因子旋转的方法。
12.1 因子分析简介

有时侯，我们要考察的指标是无法直接测量的。 比如考察学生的学习能力，可以直接测试的指 标有数学、语文、物理等科目的考试成绩，但 是一些抽象的指标，譬如运算能力、表达能力 则无法通过直接测试的方法得到，然而这些抽 象指标却体现在上述可以测试的指标之中。因 子分析法就是研究如何来表达这两类不同性质 的指标之间的关系的。
因子分析结果（3）
成份 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 初始特征值 合计 0.65 0.55 0.53 0.49 0.42 0.39 0.36 0.36 0.30 0.27 0.26 0.24 0.22 0.20 0.16 方差的% 2.59 2.19 2.12 1.96 1.67 1.55 1.45 1.44 1.22 1.10 1.05 0.97 0.87 0.79 0.66 累积% 80.97 83.16 85.28 87.24 88.91 90.46 91.91 93.34 94.56 95.66 96.71 97.68 98.55 99.34 100.00 合计 提取平方和载入 方差的% 累积% 合计 旋转平方和载入 % 累积%
案例1：探索变量间的结构关系


直接从相关系数矩阵或者协方差矩阵开始，用 语法命令的方式来进行因子分析。 为了分析（英格兰）盖尔语、英语、历史、算 术、几何和代数6门学科之间的相互关系， Lawley和Maxwell调查了220名男学生的6门学 科的成绩，并记录下它们的相关系数矩阵
Gaelic English History Arithmetic Algebra Geometry 1.000 0.439 1.000 R 0.410 0.351 1.000 0.288 0.354 0.164 1.00 0.329 0.320 0.190 0.595 1.000 0.248 0.329 0.181 0.470 0.464 1.00
因子分析模型（2）

因子分析模型要求方程（1）满足下列条件：

q<p:公共因子的个数不大于原始变量的个 数 公共因子和特殊因子是不相关的，即： 公共因子F1,…,Fq不相关且方差为1 各个特殊因子不相关，但是方差不要求相等。
Cov(F, ε) 0

因子分析结果解释

因子载荷的意义

在因子上的因子载荷实际上是原始变量和公共因子 的相关系数。它们的大小反映了原始变量对公共因 子的重要性。 它反映了公共因子对原始变量的影响程度 它衡量公共因子的重要性。
子 2 .660 .551 .591 .173 .215 .213
碎石图
因子载荷图
案例2：因子分析在市场调查中的应用

数据文件cereals.sav 某市场调查项目需要了解消费者是否偏爱某个 谷物品牌。现有117个受访者对12个销量比较 好的谷物产品的25个属性进行评分。现在用因 子分析法对消费者的偏好习惯进行分析。哪些 品牌的谷物产品易受消费者青睐？消费者喜欢 哪些属性？这些属性之间有什么关系？
因子分析选项设置（1）
因子分析选项设置（2）

如果因子分析的结果输出错误信息“解不收 敛”，可以考虑更改 “最大收敛性迭代次数” 为一个较大的值，然后重新进行因子分析。
因子分析选项设置（3）
因子分析结果（1）
取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。 Bartlett 的球形度检验 近似卡方 Df Sig.
结果分析（1）：相关系数矩阵
Englis Gaelic 相 关 h History Arithm eti Algebr a Geome try Gaelic Englis 1.0 00 .43 9 .41 0 .28 8 .32 9 .24 8 h .43 9 1.0 00 .35 1 .35 4 .32 0 .32 9 y .41 0 .35 1 1.0 00 .16 4 .19 0 .18 1 Histor eti .28 8 .35 4 .16 4 1.0 00 .59 5 .47 0 Arithm a .32 9 .32 0 .19 0 .59 5 1.0 00 .46 4 Algebr try .24 8 .32 9 .18 1 .47 0 .46 4 1.0 00 Geome
12.2 因子分析的统计理论

因子分析假设每一个原始变量都可以表示成不 可观测的公共因子的线性组合和一个特殊因子 之和。
X1 1 a11F1 a12 F2 a1q Fq 1 X 2 2 a21 F1 a22 F2 a2 q Fq 2 X a F a F a F p pq q p p1 1 p2 2 p

变量共同度


公共因子的方差贡献

因子分析模型的求解方法 （1）

SPSS中给出了7种求解因子分析模型的方法

主成分 未加权的最小平方法 综合最小平方法 最大似然（K） 主轴因子分解 α因子分解 映像因子分解法。
因子分析模型的求解方法（2）


这7种求解因子分析模型的方法都可以基于相 关系数矩阵 。 主成分、主轴因子分解和映像因子分解 3种方 法既可以基于相关系数矩阵，也可以基于协方 差矩阵。
SPSS数据分析教程
—《SPSS数据分析教程》
第12章 因子分析
目录



12.1 因子分析简介 12.2 因子分析法的统计理论 12.2.1 因子分析的模型 12.2.2 因子分析模型的求解方法 12.2.3 因子分析的应用前提 12.2.4 因子个数的确定 12.2.5 因子的解释 12.2.6 因子旋转 12.2.7 因子得分 12.3 因子分析案例 12.3.1 探索变量间的结构关系 12.3.2 因子分析在市场调查中的应用 12.4 因子分析结果的有效性 12.5 因子分析和主成分分析的比较
因子分析模型（1）

这里q为公共因子的个数 ，F1，…,Fq表示公共 因子 , 也可以表示为下列矩阵形式： （1）
X AF ε

其中，A称为载荷矩阵
a11 a12 a1q a21 a22 a2q A a p1 a p 2 a pq
因 子
初始因子载荷矩阵
因 1 Gaelic English History Arithmeti Algebra Geometry .553 .568 .392 .740 .724 .595
子 2 .429 .288 .450 − .273 − .211 − .132
旋转因子载荷矩阵
因 1 Gaelic English History Arithmeti Algebra Geometry .232 .321 .085 .770 .723 .572
因子个数的确定

有3个方法可以用来确定因子的个数

方差贡献率 设定特征值条件 碎石图
因子旋转


当因子分析模型得到的公共因子没有较好的解 释时，一般可以对因子进行旋转以得到原始变 量和公共因子之间关系的较好解释。 因子旋转分为正交旋转和非正交旋转。在正交 旋转下，特殊因子的协方差、公共因子的协方 差都不变，因此旋转之后的因子仍然是不相关 的。
因子分析的应用前提


因子分析的主要目的是数据降维，如果原始变 量之间没有相关性，因子分析的意义不大。 判断原始变量之间是否有相关性。判断的方法 为Bartlett球形检验和KMO方法。


经验上，因子分析方法要求个案个数是变量个数的 10到25倍。如果个案个数相对于变量个数而言较少， 那么考虑用主成分法来替代。 建议如果变量中有分类变量，那么分类变量的可取 值个数要不小于5。
提取平方和载入 方差的% 26.02 15.28 10.01 6.74 4.34 累积% 26.02 41.30 51.31 58.05 62.39 合计 5.50 3.08 3.07 2.38 1.56
旋转平方和载入 % 22.01 12.31 12.29 9.53 6.25 累积% 22.01 34.32 46.61 56.14 62.39
因子分析是一种数据降维方法

因子分析试图用最少个数的不可观测的互不相 关的公共因子（例如运算能力、表达能力等公 共因子）的线性组合，再加上特殊因子来描述 原来一组可观测的有相互关系的变量。其目的 是尽可能合理地解释存在于原始变量之间的相 关性，并且简化变量的维数和结构。