2020年四川省宜宾市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．1．（4分）6的相反数是( ) A ．6B ．6-C ．16D ．16-2．（4分）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为( ) A ．7100B ．40.7110⨯C ．27110⨯D ．37.110⨯3．（4分）如图所示，圆柱的主视图是( )A ．B ．C ．D ．4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．325a b ab += B ．22(2)4a a -=-C ．22(1)21a a a +=++D ．3412a a a =5．（4分）不等式组20211x x -<⎧⎨--⎩的解集在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C．D．6．（4分）7名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是()A．20，21B．21，22C．22，22D．22，237．（4分）如图，M、N分别是ABC∆的边AB、AC的中点，若65A∠=︒，45ANM∠=︒，则(B∠=)A．20︒B．45︒C．65︒D．70︒8．（4分）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是()A．15000120008x x=-B．15000120008x x=+C．15000120008x x=-D．15000120008x x=+9．（4分）如图，AB是O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD AB⊥于点D，且4CD=，3BD=，则O的周长是()A．253πB．503πC．6259πD．62536π10．（4分）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有()A．2种B．3种C．4种D．5种11．（4分）如图，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形，且点B 、C 、D 在一条直线上，连结BE 、AD ，点M 、N 分别是线段BE 、AD 上的两点，且13BM BE =，13AN AD =，则CMN ∆的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形12．（4分）函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(2,0)，顶点坐标为(1,)n -，其中0n >．以下结论正确的是( )①0abc >；②函数2(0)y ax bx c a =++≠在1x =和2x =-处的函数值相等；③函数1y kx =+的图象与2(0)y ax bx c a =++≠的函数图象总有两个不同交点； ④函数2(0)y ax bx c a =++≠在33x -内既有最大值又有最小值． A ．①③B ．①②③C ．①④D ．②③④二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．13．（4分）分解因式：3a a -= ．14．（4分）如图，A 、B 、C 是O 上的三点，若OBC ∆是等边三角形，则cos A ∠= ．15．（4分）已知一元二次方程2280x x +-=的两根为1x 、2x ，则2112122x xx x x x ++= ． 16．（4分）如图，四边形ABCD 中，DA AB ⊥，CB AB ⊥，3AD =，5AB =，2BC =，P 是边AB 上的动点，则PC PD +的最小值是 ．17．（4分）定义：分数(nm m ，n 为正整数且互为质数）的连分数123111a a a +++⋯（其中1a ，2a ，3a ，⋯，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1)，记作123111nma a a +++⋯， 例如：7111111195111119222227211771115155222======+++++++++，719的连分数为11211122+++，记作71111192122+++，则 111123++． 18．（4分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，连结CD 交BE 于点O ．若8AC =，6BC =，则OE 的长是 ．三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（10分）（1）计算：1020201()(3)|3|(1)4π-----+-；（2）化简：22221(1)11a a a a -÷--+．20．（10分）如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 的中点，连结AD 并延长到点E ，使DE AD =，连结CE ．（1）求证：ABD ECD ∆≅∆；（2）若ABD ∆的面积为5，求ACE ∆的面积．21．（10分）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．（1）本次接受调查的学生有名；（2）补全条形统计图；（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？22．（12分）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为303米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45︒．（1）求CAD∠的大小；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．23．（12分）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数(0)my x x=<的图象相交于点(3,)A n -，(1,3)B --两点，过点A 作AC OP ⊥于点C ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形ABOC 的面积．24．（12分）如图，已知AB 是O 的直径，点C 是圆上异于A 、B 的一点，连结BC 并延长至点D ，使CD BC =，连结AD 交O 于点E ，连结BE ． （1）求证：ABD ∆是等腰三角形；（2）连结OC 并延长，与以B 为切点的切线交于点F ，若4AB =，1CF =，求DE 的长．25．（12分）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2,1)在二次函数的图象上，过点(0,1)F 作x 轴的平行线交二次函数的图象于M 、N 两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当PMN∆是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线1y=-相切．若存在，求出点E的坐标，并求E的半径；若不存在，说明理由．2020年四川省宜宾市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．1．（4分）6的相反数是( ) A ．6B ．6-C ．16D ．16-【分析】求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，据此解答即可． 【解答】解：根据相反数的含义，可得 6的相反数是：6-． 故选：B ．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”．2．（4分）我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为( ) A ．7100B ．40.7110⨯C ．27110⨯D ．37.110⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【解答】解：将7100用科学记数法表示为：37.110⨯． 故选：D ．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（4分）如图所示，圆柱的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【解答】解：从正面看，是一个矩形． 故选：B ．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．325a b ab += B ．22(2)4a a -=-C ．22(1)21a a a +=++D ．3412a a a =【分析】根据完全平方公式，合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则逐一计算可得．【解答】解：A 、3a 与2b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、22(2)4a a -=，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、22(1)21a a a +=++，原计算正确，故此选项符合题意；D 、347a a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：C ．【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式、合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法运算法则及同类项概念等知识点．5．（4分）不等式组20211x x -<⎧⎨--⎩的解集在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：不等式组20211x x -<⎧⎨--⎩①②，由①得：2x <， 由②得：1x -，∴不等式组的解集为12x -<．表示为：故选：A ．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．6．（4分）7名学生的鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是( ) A ．20，21B ．21，22C ．22，22D ．22，23【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【解答】解：数据按从小到大的顺序排列为20，21，22，22，22，23，23，所以中位数是22；数据22出现了3次，出现次数最多，所以众数是22． 故选：C ．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．7．（4分）如图，M 、N 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，若65A ∠=︒，45ANM ∠=︒，则(B ∠= )A ．20︒B ．45︒C ．65︒D ．70︒【分析】根据三角形中位线定理得出//MN BC ，进而利用平行线的性质解答即可． 【解答】解：M 、N 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点， //MN BC ∴， 45C ANM ∴∠=∠=︒，180180654570B A C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：D ．【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出//MN BC 解答． 8．（4分）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x 元，则列方程正确的是( ) A ．15000120008x x =- B ．15000120008x x =+ C ．15000120008x x =- D ．15000120008x x=+ 【分析】设文学类图书平均每本x 元，则科普类图书平均每本(8)x +元，根据数量=总价÷单价结合用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解答】解：设文学类图书平均每本x 元，则科普类图书平均每本(8)x +元， 依题意，得：15000120008x x=+． 故选：B ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．9．（4分）如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上一点，连结AC 和BC ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，且4CD =，3BD =，则O 的周长是( )A．253πB．503πC．6259πD．62536π【分析】利用相似三角形的性质可得AB的长，利用周长公式可得结果．【解答】解：AB是O的直径，90ACB∴∠=︒，CD AB⊥，Rt ABC Rt CBD∴∆∆∽，∴AB BCCB BD=，4CD=，3BD=，2222435 BC CD BD∴=++∴5 53 AB=，253 AB∴=，O∴的周长是253π，故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．10．（4分）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有()A．2种B．3种C．4种D．5种【分析】设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶(6)x-个，根据总价=单价⨯数量，结合总费用不超过3100元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x，(6)x-均为非负整数，即可得出x的可能值，进而可得出购买方案的数量．【解答】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶(6)x-个，依题意，得：500550(6)3100x x +-， 解得：4x ．x ，(6)x -均为非负整数，x ∴可以为4，5，6，∴共有3种购买方案．故选：B ．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．11．（4分）如图，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形，且点B 、C 、D 在一条直线上，连结BE 、AD ，点M 、N 分别是线段BE 、AD 上的两点，且13BM BE =，13AN AD =，则CMN ∆的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【分析】根据等边三角形的性质得出BC AC =，EC CD =，进而利用SAS 证明BCE ∆与ACD ∆全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形， BC AC ∴=，EC CD =，60BCA ECD ∠=∠=︒， BCA ACE ECD ACE ∴∠+∠=∠+∠，即BCE ACD ∠=∠， 在BCE ∆与ACD ∆中 BC ACBCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BCE ACD SAS ∴∆≅∆， MBC NAC ∴∠=∠，BE AD =， 13BM BE =，13AN AD =，BM AN ∴=，在MBC ∆与NAC ∆中 BM AN MBC NAC BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()MBC NAC SAS ∴∆≅∆， MC NC ∴=，BCM ACN ∠=∠， 60BCM MCA ∠+∠=︒， 60NCA MCA ∴∠+∠=︒， 60MCN ∴∠=︒， MCN ∴∆是等边三角形，故选：C ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出BCE ACD ∆≅∆是解题关键．12．（4分）函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(2,0)，顶点坐标为(1,)n -，其中0n >．以下结论正确的是( )①0abc >；②函数2(0)y ax bx c a =++≠在1x =和2x =-处的函数值相等；③函数1y kx =+的图象与2(0)y ax bx c a =++≠的函数图象总有两个不同交点； ④函数2(0)y ax bx c a =++≠在33x -内既有最大值又有最小值． A ．①③B ．①②③C ．①④D ．②③④【分析】根据待定系数法，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解． 【解答】解：依照题意，画出图形如下：函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(2,0)，顶点坐标为(1,)n -，其中0n >． 0a ∴<，0c >，对称轴为12bx a=-=-， 20b a ∴=<， 0abc ∴>，故①正确，对称轴为1x =-，1x ∴=与3x =-的函数值是相等的，故②错误；顶点为(1,)n -，∴抛物线解析式为；22(1)2y a x n ax ax a n =++=+++，联立方程组可得：212y kx y ax ax a n =+⎧⎨=+++⎩， 可得2(2)10ax a k x a n +-++-=，∴△22(2)4(1)444a k a a n k ak a an =--+-=-+-，无法判断△是否大于0，∴无法判断函数1y kx =+的图象与2(0)y ax bx c a =++≠的函数图象的交点个数，故③错误；当33x -时，当1x =-时，y 有最大值为n ，当3x =时，y 有最小值为16a n +，故④正确， 故选：C ．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，一次函数的性质，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填在答题卡对应题中横线上．13．（4分）分解因式：3a a -= (1)(1)a a a +- ．【分析】先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：3a a -，2(1)a a =-， (1)(1)a a a =+-．故答案为：(1)(1)a a a +-．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．14．（4分）如图，A 、B 、C 是O 上的三点，若OBC ∆是等边三角形，则cos A ∠=3．【分析】由OBC ∆是等边三角形可知60BOC ∠=︒，根据圆周角定理可求出A ∠的度数，可得cos A ∠．【解答】解：OBC ∆是等边三角形， 60BOC ∴∠=︒， 30A ∴∠=︒，3cos cos30A ∴∠=︒=3． 【点评】本题主要考查了圆周角定理和等边三角形的性质，熟练运用圆周角定理是解答此题的关键．15．（4分）已知一元二次方程2280x x +-=的两根为1x 、2x ，则2112122x x x x x x ++= 372- ． 【分析】根据根与系数的关系得出122x x +=-，128x x =-，再通分后根据完全平方公式变形，再代入求出即可．【解答】解：一元二次方程2280x x +-=的两根为1x 、2x ，122x x ∴+=-，128x x =-，∴2112122x x x x x x ++ 222112122x x x x x x +=+21212()22(8)8x x x x +-=⨯-+- 2(2)2(8)168--⨯-=-+- 372=-，故答案为：372-． 【点评】本题考查了根与系数的关系和求代数式的值，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．16．（4分）如图，四边形ABCD 中，DA AB ⊥，CB AB ⊥，3AD =，5AB =，2BC =，P 是边AB 上的动点，则PC PD +的最小值是 52 ．【分析】要求PC PD +的和的最小值，PC ，PD 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC ，PD 的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：延长CB 到C '，使2C B CB '==，连接DC '交AB 于P ．则DC '就是PC PD +的和的最小值． //AD BC ，A PBC ∴∠=∠'，ADP C ∠=∠'，ADP ∴∆∽△BC P '，::3:2AP BP AD BC ∴='=，' 23PB AP ∴=， 5AP BP AB +==， 5AP ∴=，2BP =，22223332PD AD AP∴=+=+=，22222222PC BP BC '=+'=+=， 322252DC PD PC ∴'=+'=+=，PC PD ∴+的最小值是52，故答案为52．【点评】此题考查了轴对称的性质、勾股定理的运用及相似三角形的判定和性质，解题时要注意找到对称点，并根据“两点之间线段最短”确定P 点的位置． 17．（4分）定义：分数(nm m ，n 为正整数且互为质数）的连分数123111a a a +++⋯（其中1a ，2a ，3a ，⋯，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1)，记作123111nma a a +++⋯， 例如：7111111195111119222227211771115155222======+++++++++，719的连分数为11211122+++，记作71111192122+++，则 710 111123++． 【分析】根据连分数的定义列式计算即可解答． 【解答】解：1111111711310123101111777233++====++++． 故答案为：710． 【点评】本题考查新定义连分数的化简，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．18．（4分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，连结CD 交BE 于点O ．若8AC =，6BC =，则OE 的长是95．【分析】先根据BE 是ABC ∠的平分线得出比例式，求出AE 、CE 的值，根据勾股定理求出AB 和BE 长，求出M 、N 分别是BC 、BE 的中点，根据相似得出比例式，代入求出OE 即可．【解答】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，由勾股定理得：10AB =， 过A 作//AF BC ，交BE 延长线于F ，//AF BC ， F CBE ∴∠=∠，BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，F ABE ∴∠=∠，10AB AF ∴==， //AF BC ， AEF CEB ∴∆∆∽，∴AF AEBC CE =， ∴1068AEAE=-， 解得：5AE =，853CE =-=，在Rt ECB ∆中，由勾股定理得：226335BE =+=， 过D 作//DM AC ，交BC 于M ，交BE 于N ，D 为AB 的中点，M ∴为BC 的中点，N 为BE 的中点，115 2.522DN AE ∴==⨯=，1352BN NE BE == //DM AC ， DNO CEO ∴∆∆∽，∴DN ONCE EO=， ∴352.523OEOE-=， 解得：95OE =， 95【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（10分）（1）计算：1020201()(3)|3|(1)4π-----+-；（2）化简：22221(1)11a a a a -÷--+．【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的基本性质分别化简得出答案． 【解答】解：（1）1020201()(3)|3|(1)4π-----+-4131=--+1 =；（2）22221(1)11a aa a-÷--+2(1)11(1)(1)1a a aa a a-+-=÷+-+211a aa a+=+2=．【点评】此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确化简分式是解题关键．20．（10分）如图，在ABC∆中，点D是边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE AD=，连结CE．（1）求证：ABD ECD∆≅∆；（2）若ABD∆的面积为5，求ACE∆的面积．【分析】（1）根据SAS证明ABD ECD∆≅∆即可；（2）根据全等三角形的性质和三角形中线的性质解答即可．【解答】证明：（1）D是BC中点，BD CD∴=，在ABD∆与CED∆中BD CDADB CDEAD ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ECD SAS∴∆≅∆；（2）在ABC∆中，D是边BC的中点，ABD ADCS S∆∆∴=，ABD ECD∆≅∆，ABD ECD S S ∆∆∴=，5ABD S ∆=，5510ACE ACD ECD S S S ∆∆∆∴=+=+=，答：ACE ∆的面积为10．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS 证明ABD ECD ∆≅∆解答．21．（10分）在疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题．（1）本次接受调查的学生有 60 名；（2）补全条形统计图；（3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？【分析】（1）根据A 的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）用总人数减去其他学习方式的人数，求出C 学习方式的人数，从而补全统计图；（3）用本校的总人数乘以参与任课教师在线辅导的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）本次接受调查的学生有：915%60÷=（名)；故答案为：60；（2）选择C 学习方式的人数有：60930615---=（人)，补全统计图如下：（3）根据题意得： 30180090060⨯=（名)， 答：估计有900名学生参与任课教师在线辅导．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．（12分）如图，AB 和CD 两幢楼地面距离BC 为303米，楼AB 高30米，从楼AB 的顶部点A 测得楼CD 的顶部点D 的仰角为45︒．（1）求CAD ∠的大小；（2）求楼CD 的高度（结果保留根号）．【分析】（1）过A 作AE CD ⊥于点E ，可得30AB EC ==米，303AE BC ==米，在直角三角形中，利用锐角三角函数的定义求出CAE ∠，进一步求得CAD ∠的大小；（2）利用等腰直角三角形的性质求出DE 的长，由CE ED +求出CD 的长即可．【解答】解：（1）过A 作AE CD ⊥于点E ，则30AB EC ==米，303AE BC ==米，在Rt AEC ∆中，3tan 3CE CAE AE ∠==， 则30CAE ∠=︒，则304575CAD ∠=︒+︒=︒；（2）在Rt AED ∆中，303DE AE ==米，(30303)CD CE ED =+=+米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键．23．（12分）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数(0)m y x x=<的图象相交于点(3,)A n -，(1,3)B --两点，过点A 作AC OP ⊥于点C ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求四边形ABOC 的面积．【分析】（1）将点B 坐标代入，确定反比例函数的关系式，进而确定点A 坐标，把点A 、B 的坐标代入求出一次函数的关系式；（2）将四边形ABOC 的面积转化为BOM ACMB S S ∆+梯形，利用坐标及面积的计算公式可求出结果．【解答】解：（1）(1,3)B --代入m y x =得，3m =， ∴反比例函数的关系式为3y x=； 把(3,)A n -代入3y x=得，1n =- ∴点(3,1)A --； 把点(3,1)A --，(1,3)B --代入一次函数y kx b =+得，313k b k b -+=-⎧⎨-+=-⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数4y x =--；答：一次函数的关系式为4y x =--，反比例函数的关系式为3y x=； （2）如图，过点B 作BM OP ⊥，垂足为M ，由题意可知，1OM =，3BM =，1AC =，312MC OC OM =-=-=，BOM ABOC ACMB S S S ∆∴=+四边形梯形，31(13)222=++⨯， 112=．【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，将坐标与线段的长的相互转化是计算面积的关键．24．（12分）如图，已知AB 是O 的直径，点C 是圆上异于A 、B 的一点，连结BC 并延长至点D ，使CD BC =，连结AD 交O 于点E ，连结BE ．（1）求证：ABD ∆是等腰三角形；（2）连结OC 并延长，与以B 为切点的切线交于点F ，若4AB =，1CF =，求DE 的长．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得AB AD =，可得结论；（2）通过证明OBF AEB ∆∆∽，可得OB OF AE AB =，即可求解． 【解答】证明：（1）AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，AC BD ∴⊥， 又CD BC =，AB AD ∴=，ABD ∴∆是等腰三角形；（2）ABD ∆是等腰三角形，12BAC BAD ∴∠=∠，AB AD =，BC BD =， 又12BAC BOC ∠=∠， BOC BAD ∴∠=∠， BF 是O 的切线，90FBO ∴∠=︒， AB 是O 的直径，90AEB BFO ∴∠=︒=∠，OBF AEB ∴∆∆∽， ∴OB OF AE AB=， 4AB =，1CF =，2OB ∴=，3OF OC CF =+=，∴234AE =， 83AE ∴=， 43DE AD AE ∴=-=． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，证明OBF AEB ∆∆∽是本题的关键，25．（12分）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2,1)在二次函数的图象上，过点(0,1)F 作x 轴的平行线交二次函数的图象于M 、N 两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P 为平面内一点，当PMN ∆是等边三角形时，求点P 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E ，使得以点E 为圆心的圆过点F 和点N ，且与直线1y =-相切．若存在，求出点E 的坐标，并求E 的半径；若不存在，说明理由．【分析】（1）设二次函数表达式为：2y ax =，将(2,1)代入上式，即可求解；（2）PMN ∆是等边三角形，则点P 在y 轴上且4PM =，故23PF =，即可求解；（3）在Rt FQE ∆中，2215(21)(1)44EN -+-=，2215(10)(1)44EF =-+-=，即可求解． 【解答】解：（1）二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：2y ax =，将(2,1)代入上式并解得：14a =， 故二次函数表达式为：214y x =；（2）将1y =代入214y x =并解得：2x =±，故点M 、N 的坐标分别为(2,1)-、(2,1)， 则4MN =，PMN ∆是等边三角形，∴点P 在y 轴上且4PM =，PF ∴=；点(0,1)F ，∴点P 的坐标为(0,1+或(0,1-；（3）假设二次函数的图象上是否存在一点E 满足条件，设点Q 是FN 的中点，则点(1,1)Q ，故点E 在FN 的中垂线上．∴点E 是FN 的中垂线与214y x =图象的交点， 211144y ∴=⨯=，则点1(1,)4E ，在Rt FQE ∆中，54EN ==，同理54EF =， 点E 到直线1y =-的距离为15|(1)|44--=， 故存在点E ，使得以点E 为圆心半径为54的圆过点F ，N 且与直线1y =-相切． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本的性质、等边三角形的性质等，综合性强，难度适中．。