数学史与数学文化期末考试（二）班级：会计学号：姓名：王婷题目：勾股定理证明方法摘要：勾股定理的历史已有几千年的历史。

数学讲究严格论证，任何结论都要经过逻辑推理一步一步证出来。

未加证明的论断只能称为命题，经过证明以后才能叫定理，勾股定理的提出是一回事，对它进行严格证明是更了不起的事。

千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有古希腊著名数学家毕达哥拉斯的毕达哥拉斯树、我国商代数学家商高的商高定理、三国赵爽的以盈补虚法、甚至还有美国总统詹姆士·加菲尔德的简易证明法等，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，足可见勾股定理魅力之处。

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。

正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称，在法国和比利时称为“驴桥定理”、埃及称为“埃及三角形”，而我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，故称之为“勾股定理”。

关键字：勾股定理直角三角形正方形直角边斜边目录一、提出问题 (4)二、数学建模 (4)三、得出结论 (4)四、知识延伸 (5)1、主要几种证明方法 (5)（1）、算法化证明 (5)（2）、演绎性证明 (5)（3）、代数计算证明 (5)2、勾股组数 (5)3、勾股定理逆定理 (6)五、勾股定理的应用 (7)1、古代的应用 (7)2、现代应用 (7)3、勾股定理的推广 (7)4、勾股定理的影响 (8)一、提出问题1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

二、数学建模这个直角梯形是由2个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成的。

因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以得出如下等式：1直角梯形面积：(a+b)(b+a)2化简得这种证明方法用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而证明更加简洁。

他就是当时美国俄亥俄州共和党议员詹姆士·加菲尔德，他是美国第20位总统。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。

”证法。

学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。

三、得出结论勾股定律是初等集合著名定理之一。

直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积，即如果直角三角形两直角边长度a和b，斜边长度为c，那么其来源传统上认为是由古希腊的数学家毕达哥拉斯所证明，他根据勾股定律做出的毕达哥拉斯树图形。

据说毕达哥拉斯证明了次定理或，当地人民为了庆祝斩杀了百头牛庆祝，因此又称“百牛定理”例题：有一只小鸟在一棵搞4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米每秒的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒可能到达大树和伙伴在一起？1、先根据勾股定理得出小鸟需要飞的距离：（20-4）2+122=400 小鸟飞的距离为：20米2、求需要飞的时间：20÷4=5秒四、知识延伸1、主要几种证明方法（1）、算法化证明主要以中国古代证明方法为代表。

计算程序为“勾股之法，先知二数，然后推一”，在思想上主要应用的是“出入相补原理”。

（2）、演绎性证明主要以古希腊证明方法为代表。

只探求图形面积之间的大小关系，而不关心具体图形的面积计算，并在此基础上建立的三角形全等的判定与定理“如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在平行线之间，则平行四边形是这个三角形的二倍”。

（3）、代数计算证明这是中西古代数学思想方法的结合。

机油算法思想又体现了演绎推理。

如上述论证了加菲尔德总统的证明方法。

2、勾股组数满足勾股定理方程a2+b2=c2 满足勾股定理方程a2+b2=c2 由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

1.（3、4、5）2.（6、8、10）3.（5、12、13）4.（8、15、17）5.（7、24、25）6.（9、40、41）7.（10、24、26）8.（11、60、61） 9.（12、35、37）10.（48、55、73） 11.（12、16、20） 12.（13、84、85）13.（20、21、29）14.（20、99、101） 15.（60、91、109）16.（15、112、113）17,（17,144,145） 18，(19,180,181)勾股数组的通式：a=M2-N2 b=2MNc=M^2+N^2 （M>N,M,N为正整数）3、勾股定理逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法。

例题：已知△ABC的三边AB=c，BC=a，CA=b，且满足a^2+b^2=c^2，证明∠C=90°。

证法的思路是做一个直角三角形，然后证明它和已知三角形全等，从而已知三角形也是直角三角形。

证法一：同一法构造一个直角三角形A'B'C'，使∠C'=90°，a'=a，b'=b。

那么，根据勾股定理，c'^2=a'^2+b'^2=a^2+b^2=c^2，从而c'=c。

在△ABC和△A'B'C'中，a=a' b=b' c=c'∴△ABC≌△A'B'C'。

因而，∠C=∠C'=90°。

（证毕）证法2：余弦定理。

由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。

根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）/2ab。

由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；又因为C小于平角，从而C=90°。

（证毕）证法3：相似三角形。

证法的思路是将已知三角形分割成两块，然后证明它们互补的两角相等，从而这两角都是直角。

在AB边上截取点D使∠DCB=∠A。

在△CDB与△ACB中，∠B=∠B，∠DCB=∠A，∴△CDB∽△ACB（两角对应相等）。

∴BC/BA=BD/BC，从而BD=a^2/c。

又由CD/AC=CB/AB知，CD=ab/c。

另一方面，AD=AB-BD=c-a^2/c=b^2/c（因为c^2=a^2+b^2），在△ACD与△CBD中，DC/AD=(ab/c) / (b^2/c)=a/b,BC/AC=a/b,BD/CD=(a^2/c) / (ab/c)=a/b,∴△ACD∽△CBD（三边对应成比例）。

∴∠BDC=∠CDA。

而∠BDC+∠CDA=180°，故∠BDC=∠CDA=90°。

由于∠ACB=∠CDB，所以∠ACB90°。

五、勾股定理的应用1、古代的应用勾股定理的应用，古已有之。

在古埃及，拉绳者测量土地，建造金字塔；在古印度，建造祭坛；在古代中国，勾股定理得到更大的发挥。

《九章算术》的第九卷“勾股”包含24个问题，前3个问题是勾股弦之间的关系，后面21个是其定理的应用，种类繁多，内容丰富。

例如“引葭赴岸”、容圆问题、测量山高、井深等，还有三国时的刘徽撰写的《九章算术注》中的有一卷因测量海岛的高和远而得名《海岛算经》，所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标高、深、广、远。

广泛应用了勾股定理，它解决了各种于直角有关的问题。

2、现代应用勾股定理的现代应用更加广泛，在天文、地理、生产、生活等都有。

在生产槽钢等型零件焊接成所需的几何形状零部件中，其中要求组成直角最多。

一般操作中是以直角尺为基准，将零件找正后焊接。

对较大较长的零件用较小的直角尺找正。

用勾股定理确定直角的方法找正、焊接，解决了上述不足，并且垂直度误差较小。

再如，检测某建筑物四边形地基的四个墙角是否是直角，分别测量地基的两边长和一条对角线的长，看他们是否满足勾股定理即可。

3、勾股定理的推广其推广有多种形式，它们已成为数学中饶有趣味的几何题。

例如1：公元前五世纪后期，希腊数学家希波克拉底讨论过化月牙形为方的问题，目的是为了化圆为方。

他用了“圆上相似弓形的面积之比等于它们底边的平方之比”结论，其证明依赖于“两个圆面积之比等于它们直角径的平方之比。

容易推出，以直角三角形斜边AB为直径的半圆面积等于以两个直角边AC、BC为直径半圆面积之和。

例如2：公元4世纪，希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的证明结论在两方面对勾股定理作了推广，一是三角形是任意三角形，二是三角形边上作的是任意平行四边形。

假如该三角形是直角三角形，在边上向外作的又是正方形，则就是勾股定理。

在立体几何中还发展出了“空间勾股定理”；在长方体中：对角线的平方等于从同一顶点出发的三条棱长的平方和；4、勾股定理的影响德国天文学家开普勒曾说过：“几何学有两大宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。

前者犹如珠玉，后者堪称黄金。

”由此可见，勾股定理在几何学中的地位和影响是巨大的。

在中国勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生和发展，寻根溯源，都与勾股定理有着密切关系。

就直接范围来看，勾股定理推动了几何学的发展，许多几何定理都是以它为基础，为前提条件。

参考文献：《数学原理》人民教育出版社《探求勾股定理》同济大学出版社《勾股书籍》新世纪出版社《九章算术一书》《几何原本》（原著：欧几里得）人民教育出版社。