§1.1平面直角坐标系与伸缩变换一、三维目标1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2、能力与与方法：体会坐标系的作用3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、学习重点难点1、教学重点：体会直角坐标系的作用2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题三、学法指导：自主、合作、探究四、知识链接问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何研究曲线与方程间的关系？五、学习过程一．平面直角坐标系的建立某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。

已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上）问题1:思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置？思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？问题2：还可以怎样描述点P的位置？B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。

探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？小结：选择适当坐标系的一些规则：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：⎩⎨⎧==y y x x 3''通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

思考3：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换⎩⎨⎧>=>=)0(,)0(,:''y y y x x μλλϕ的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换。

六、达标检测A1.求下列点经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标： （1） （1，2）；（2） （-2，-1）A2．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ；A3．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==yy x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x ''D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x xA4．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . B5．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的图形： （1）032=+y x ；（2）12=2x.+yB8.教材P8 习题1.1 第4，5,6 七、学习小结八、课后反思课题:极坐标系(两课时)一、三维目标知识与技能：认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

过程与方法：通过生活中的实例，让学生认识到学习极坐标系的必要性，从而引出极坐标系与极坐标的概念；根据极坐标与直角坐标的特点和三角函数的概念，实现极坐标和直角坐标间的互化情感态度价值观：通过学习，体会数学知识的产生与发展源于生活又服务于生活，体会数学的应用价值，激发学生的学习数学的热情。

二、教学重难点重点：理解并能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识。

三、学法指导：认真阅读教材P8—10，结合实例，理解极坐标的建立、点与极坐标的对应；结合任意角的三角函数的定义，理解极坐标和直角坐标间的互化。

四、知识链接：1、回顾自己在为人指路时常用的方法2举一个生活中用“距离”和“角度”刻画位置的例子五、学习过程：一、极坐标系的概念1、引入：阅读课本P9页的“思考”，并回答提出的问题答1）：答2）：2、你是否注意到在以上问题中，用“距离”和“角度”刻画位置时，总是先固定一个位置作为，并以某个方向作为参照。

3极坐标系的概念：1）在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.2)如图：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为 ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ；有序实数对(,ρθ)叫做点M 的极坐标,记为(,)M ρθ；注：一般地,不做特殊说明时,我们认为0,ρθ≥∈R 4例题例1.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D(2，6π) ，E(4，34π) ， F(3.5，53π)所在的位置。

例2．在右图中，点A ，B ，C ，D ，E 分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置。

建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标。

5思考1）：在极坐标系中，（4，6π），（4，26ππ+），（4，46ππ+），（4，26ππ-） 表示的点有什么关系？你能体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？思考2）：如果规定0ρ>，02θπ≤<，那么平面内的点与极坐标极是一一对应的吗？6极坐标系与直角坐标系的区别1引入：为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，应当如何建立这两个坐标系呢？2极坐标与平面直角坐标的互化：1）互化前提：与重合，与重合；取的单位长度2）互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (,)x y ，极坐标是(,)ρθ那么两者之间的关系：cos ,sin x y ρθρθ==--------（1） 坐标化为 坐标222,tan (0)yx y x x ρθ=+=≠-----（2）坐标化为 坐标 你能联想到过去所学的哪个知识？ . 3例题：例3.将点M 的极坐标（5，23π）化成直角坐标。

例4.将点M 的直角坐标（-1）化成极坐标。

六、达标训练1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，求它们的直角坐标。

2.已知点的直角坐标分别为)32,2(),35,0(),3,3(---C B A ，)3,1(-，求它们的极坐标。

3．极坐标系中，点A 的极坐标是)6,3(π，则 （1）点A 关于极轴对称的点是_______.(2) 点A 关于极点对称的点的极坐标是___. (3) 点A 关于直线2πθ=的对称点的极坐标是________.(规定:)0(>ρ[)πθ2,0∈4．在极坐标中，若等边∆ABC 的两个顶点是)4,2(πA 、)45,2(πB ，那么顶点C 的坐标可能是（ ）)43,4.(πA)43,32(πB),32.(πC ),3.(πD5已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________. 七、课堂小结1． 极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。

2．平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

3． 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。

4．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

（2） 互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ。

八、课后反思:课题:圆的极坐标方程与直线的极坐标方程（２课时）[学习目标]：知识与技能：1.理解圆的极坐标方程与直线的极坐标方程的求法；过程与方法：通过实例引导学生了解极坐标方程的应用；情感态度与价值观：体会数学在实际生活中的应用价值。

[学习重点]：圆的极坐标方程与直线的极坐标方程的求法[学习难点]：能根据条件写出圆的极坐标方程与直线的极坐标方程第一课时使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，先阅读教材，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。

2、不会的，模棱两可的问题标记好。

3、对重点班学生要求完成全部问题，平行班完成70℅以上。

一、知识链接:1、圆的标准方程：2、圆的一般方程：3、直线的一般方程：4、直角坐标与极坐标互化公式：二、学习过程:学生阅读教材12页回答下面问题1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义3、求曲线方程的步骤1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的( )，这条曲线称为这个( )的曲线。