sin α ϕm = cos α ϕm =
A × sin α 0 + δ a + Ri × θ × cos ϕ S mϕ A × cos α 0 + δ r × cos ϕ S mϕ
辅推力滚道钢球的接触角 α ϕs 变为:
α ϕs = cos α ϕs =
A × sin α 0 − δ a − Ri × θ × cos ϕ S sϕ A × cos α 0 + δ r × cos ϕ S sϕ
n ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ D ⎢ ⎥ ε 2 M = M 1 + M 2 = Pmax × sin α × Z × × ⎢ J M (ε 1 ) + ⎜ J M (ε 2 )⎥ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎢ ⎥ ⎝ ε1 ⎠ ⎣ ⎦ D = Pmax 1 × sin α × Z × × J M (ε 1 , ε 2 ) 2
ϕ = ±ϕ 0
P (ϕ ) ×
ϕ = ±ϕ 0
∫
0
n ⎤ ⎤ ⎡ 1 ( ) − − 1 1 cos ϕ ⎥ cos ϕdϕ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ 2ε 1 ⎦
同理，辅推力滚道一侧的合力矩 M2 为:
M 2 = Pmax 2 × sin α × Z ×
D × J M (ε 2 ) 2
M1 与 M2 的合力矩应与外加的倾覆力矩 M 相平衡:
动体上的最大载荷 Pmax，根据 Hertz 接触理论可以求出滚动体的最大接触应力。 对于球轴承，最大接触应力 σ max =
858 n a × nb
3
(∑ ρ )
2
× Pmax
max
对于滚子轴承，最大接触应力 σ max = 190.6 ×
∑ρ×P
l
转化成接触应力 转盘轴承的静安全系数 f s 是指其额定静载荷与当量静载荷的比值。
⎛ [σ max ] ⎞ ⎛ [σ max ] ⎞ ⎟ 。 [σ max ] 是指滚动体的许 ⎟ 时，对球轴承 f s = ⎜ ⎟ ，对于滚子轴承 f s = ⎜ ⎜σ ⎟ ⎜σ ⎝ max ⎠ ⎝ max ⎠
3
2
用接触应力。 不同类型的机械对 f s 的值有相应的要求。 如对于承载重载荷， 回转速度快， 冲击载荷大的机械应满足 f s ≥1.2。因此，在进行转盘轴承设计时，应根据实际工况， 适当调整结构设计参数，以便达到对 f s 的要求。
ε1
0.50 0.55 0.60 0.65 … 1.0 5.0 从该表格可以看出，
ε2
0.5 0.45 0.40 0.35 … 0 0
J 0 (ε 1 , ε 2 )
0.0000 0.0992 0.1744 0.2324 … 0.4244 0.8558
J M (ε 1 , ε 2 )
0.4577 0.3992 0.3567 0.3260 … 0.2546 0.0711
设滚动体的接触角为 α ,则滚动体的最大载荷 P max
1
= PA
max 1
/ sin α 。
Fa1 = Pmax 1 × sin α × Z × J 0 (ε 1 )
同理，辅推力滚道一侧总的轴向力 Fa2 为:
Fa 2 = Pmax 2 × sin α × Z × J 0 (ε 2 )
根据静力平衡条件:
1.2 数值求解法
下面以四点接触球转盘轴承为例介绍数值求解法。 假定外圈固定不动， 当轴承内圈受到轴向力 Fa， 径向力 Fr 和倾覆力矩 M 的同时 作用时，会相应地产生轴向位移δa，径向位移δr 和转角θ。设角度 ϕ 是受载荷最大 的滚动体与其它滚动体之间的夹角。轴承在受载之前，任意角位置处内外圈沟曲率中 心的距离均相同，称为原始沟心距 A，则 A = ( f i + f e − 1) × Dw 四点接触球转盘轴承内外圈上均有两组滚道。 主要承受轴向力的滚道称为主推力 滚道，另一滚道则称为辅推力滚道。轴承受载后，主辅推力滚道的沟心距均发生了改 变。 在任意角位置 ϕ 处，主辅推力滚道的沟心距 S mϕ ， S Sϕ 分别改变为:
1
滚动体载荷分布的计算方法
滚动体载荷分布的计算是进行接触强度计算和工作寿命计算的基础。根据计算方法的 不同可以分为解析求解法和数值求解法。 解析求解法只能用于转盘轴承仅承受轴向力和倾覆 力矩的情况，数值求解法则可适用于各种受力情况。比较而言，解析求解法的求解速度高， 但适应面窄、计算精度较低，计算结果常常偏于保守。数值求解法的求解速度较低，但适应 面宽、计算精度较高。因此，在绘制转盘轴承的承载曲线时采用解析求解法，以便获得更高 的计算速度;而在进行接触强度校核和工作寿命计算时，则采用数值求解法以便获得更高的 计算精度。下面分别介绍这二种计算方法。
上面三式构成的方程组是以内圈位移量为未知量的三元非线性方程组。 当给定外 载荷时，运用方程组的数值解法(Newton-Raphson 法)解得δa、δr、θ，然后利用式 (5)和（6）即可求出滚动体的载荷分布。
2 接触强度的计算和静承载曲线的绘制
2.1 接触强度的计算方法:
运用滚动体载荷分布的数值求解法，当轴承的外载荷已知时，可以求出作用于滚
2 2
1
2
1
2
式中:
α 0 是原始接触角， Ri = d m + ( f i − 0.5) × Dw × cos α 0
1 2
钢球与主辅推力滚道的总的弹性变形量 δ ϕm , δ ϕs 等于内圈发生位移后的沟心距
与原始沟心距之差，即
δ ϕm = S mϕ − A
;
δ ϕs = S sϕ − A
根据 Hertz 接触理论， 作用于钢球上的载荷 Q 与钢球和内外滚道间总的弹性变形 量 δ 之间存在如下关系: Q = K n × δ
1.5
;
K n : 变形常数
由此式可求出任意角位置 ϕ 处钢球的载荷: 主推力滚道上钢球的载荷 Qϕm = K nm × δ ϕm 辅推力滚道上钢球的载荷 Qϕs = K ns × δ ϕs
1.5 1.5
(5) (6)
内圈发生位移后，不同角位置 ϕ 处的钢球的接触角 α ϕm , α ϕs 也会发生改变，主推 力滚道钢球的接触角 α ϕm 变为:
2e D
∞ 4.023 2.046 1.403 … 0.600 0.083
2e 2e 的数值是单调下降的，因此，当外载荷已知时，可根据 查 D D
表，通过线性插值求出 J 0 (ε 1 , ε 2 ) ，然后代入式(2) 求出 Pmax 1 ，最后利用式(1)可求出 任意角位置处的滚动体载荷。 对于主辅推力滚道参数不同的转盘轴承其计算方法基 本类似，此处不再赘述。
(3)
将式(2)除以(3)得到:
J (ε , ε ) 2e 2M = = M 1 2 D Fa × D J 0 (ε 1 , ε 2 )
(4)
上式是解析法求解滚动体载荷分布的基本方程式。 由于 ε 1 + ε 2 = 1 ， 该式实际上是关 于 ε 1 的一元非线性方程。对于任意给定的一组载荷 Fa 和 M，都可求出唯一的 ε 1 值。 实际求解时，为了避免求解方程(4)的困难，先根据不同的 ε 1 , ε 2 值，运用高斯数值积 分法计算出如下的表格:
Fa = Fa1 − Fa 2 = Pmax 1 × sin α × Z × J 0 (ε 1 ) − Pmax 2 × sin α × Z × J 0 (ε 2 )
n ⎡ ⎤ ⎛ε2⎞ ⎢ ⎥ J 0 (ε 2 )⎥ = Pmax 1 × sin α × Z × ⎢ J 0 (ε 1 ) − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ε1 ⎠ ⎣ ⎦
S mϕ = ( A × sin α 0 + δ a + Ri × θ × cos ϕ ) + ( A × cos α 0 + δ r × cos ϕ )
2
S Sϕ
[ = [( A × sin α
0
− δ a − Ri × θ × cos ϕ ) + ( A × cos α 0 + δ r
2
] × cos ϕ ) ]
主推力滚道一侧总的轴向力 Fa1 为:
n
(1)
⎡ 1 Fa1 = ∑ P (ϕ ) = PAmax 1 × Z × ⎢ 2π ⎢ ϕ =0 ⎣
ϕ = ±ϕ 0
+ϕ 0
n ⎤ ⎡ ⎤ 1 ⎥ = PAmax 1 × Z × J 0 (ε 1 ) ( ) 1 1 cos ϕ d ϕ − − ⎢ ⎥ ∫ 2 ε ⎥ 1 ⎦ −ϕ 0 ⎣ ⎦
Pmax
⎛ [σ max ]× na × nb ⎞ ⎜ ⎟ 858 ⎠ =⎝
3
(∑ ρ )
2
对于滚子轴承:
L ⎛ [σ ] ⎞ Pmax = ⎜ max ⎟ × ⎝ 190.6 ⎠ ∑ ρ
2
在式(2)和(3)中令 Pmax 1 = Pmax ,则有 :
F
a
= Pmax × sin α × Z × J 0 (ε 1 , ε 2 ) D × J M (ε 1 , ε 2 ) 2
1.1 解析求解法
转盘轴承承受轴向力和倾覆力矩时，其典型的载荷分布如图所示。
其中:
ϕ 0 是滚动体载荷为零时的角度，PAmax1，PAmax2 分别代表主推力和辅推力滚
道上受载最大滚动体载荷轴向分量。 根据变形协调条件， 位于任意角位置 ϕ 处主推力滚道滚
动体的轴向载荷为:
⎡ ⎤ 1 (1 − cos ϕ )⎥ P (ϕ ) = PAmax 1 × ⎢1 − ⎣ 2ε 1 ⎦
= Pmax 1 × sin α × Z × J 0 (ε 1 , ε 2 )
主推力滚道一侧的合力矩 M1 为:
（2）
D D ⎡ 1 × cos ϕ = Pmax 1 × sin α × Z × × ⎢ ∑ 2 2 ⎢ 2π ϕ =0 ⎣ D = Pmax 1 × sin α × Z × × J M (ε 1 ) 2 M1 =