原式= – 40×5= –200 ．
课堂检测
能力提升题
2.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长 为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得 6.82–4×1.62
＝6.82– (2×1.6)2 ＝6.82–3.22 ＝(6.8＋3.2)(6.8 – 3.2) ＝10×3.6 ＝36 (cm2)
素养目标
3. 能综合运用提公因式、完全平方公式分解 因式这两种方法进行求值和证明． 2. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式．
1. 理解完全平方公式的特点．
探究新知 知识点 1 用完全平方公式分解因式
1.因式分解
回
：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
顾
旧 2.我们已经学过哪些因式分解的方法
知
∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0， ∴(a–c)(a+c+2b)=0. ∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c， ∴这个三角形是等腰三角形.
巩固练习
连接中考
1. 多项式4a–a3分解因式的结果是( B )
A．a(4–a2)
B．a(2–a)(2+a)
人教版 数学 八年级 上册
14.3 因式分解 14.3.2 公式法
第一课时 第二课时
第一课时
平方差公式
导入新知
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b
米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此
图形变换，你能得到什么公式？
a米
b米
(a–b)
a米 b米
a2– b2=(a+b)(a–b)
素养目标
、还是多项式，只要被分解的多项式能 转化成平方差的形式，就能用平方差公 式因式分解.
巩固练习
1.分解因式：
(1)(a＋b)2–4a2；
(2)9(m＋n)2–(m–
n)解2.：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)
＝(b–a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
两个数的平方和加
a2 ± 2ab +b2 =(a ± b)²
上(或减去)这两个数的
首2 ±2×首 +尾2 (首±尾)2 积的2倍，等于这两个
×尾
数的和(或差)的平方.
探究新知 试一试 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：
1. x²+4x+4= ( x )²+2·( x)·( 2)+( 2 )²=( x + 2 )² 2.m²–6m+9=( m)²– 2·(m) ·( 3 )+( 3 )²=(m – 3 )² 3.a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+( 2b )²=(a + 2b )²
探究新知
说一说
下列各式是不是完全平方式？
(1)a2–4a+4; 是
(3)4b2+4b–1; 不是
4b²与–1的符号不统一；
(4)a2+ab+b2; 是
(2)1+4a²不; 是 只有两项
；
不是
ab不是a与b的积的2倍.
(5)x2+x+0.25.
探究新知
素养考点 1 利用完全平方公式分解因式
例1 分解因式：
将上面的等式倒过来看，能得到：
b ab b²
a a² ab
a
b
a2+2ab+b2 = (a+b)2
探究新知
我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
观察这两个多项式 a2+2ab每个多项式有几项？ 三项
.
(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
A．a2＋(–b)2
B．5m2–20mn
C．–x2–y2
D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是( D )
A．x(x2–1)
B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1)
D．x(1+x)(1–x)
3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(A )
A．–21 B．21 C．–10
D
．10
课堂检测
基础巩固题
4.把下列各式分解因式： (1)16a2–9b2=____(4_a_+_3_b_)_(4_a_–_3_b_)__; (2)(a+b)2–(a–b)2=_____4_a_b__________; (3) 因式分解：2x2–8=___2_(_x_+_2_)(_x_–_2)______; (4) –a4+16=__(_4+_a_2_)_(2_+_a_)_(2_–_a_)___. 5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n
(2)53.52×4–
46.5解2×：4(1. )原式＝(101＋99)(101–99)＝400；
(2)原式＝4(53.52–46.52) ＝ 4(53.5＋46.5)(53.5–46.5) ＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进 行变形，使运算得以简化.
解:(1)原式=(22xx)2 332 (22xx 33)(22xx 33) ;
a2 – b2 = ( a+ + b) (a –b)
(x ap)2 (x b q)2
(2)原式(x p) (x q) (x p) (x q)
(2x p q)( p q).
探究新知
方法点拨
公式中的a、b无论表示数、单项式
探究新知
素养考点 3 利用因式分解求整式的值
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
∴x–y＝–2②. 联立①②组成二元一次方程组，
方法总结：在与x2–y2 ，x±y有关的求代数
式或未知数的值的问题
x
解得：
y
3 2
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积 的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
巩固练习
5. 若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式 a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状. 分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平 方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形 状解. ：∵a2–2bc=c2–2ab，
的值是__4___________.
课堂检测
能力提升题
1. 已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．
解：原式=(m+2n+3m – n)(m+2n – 3m+n)
=(4m+n)(3n – 2m) = –(4m+n)(2m – 3n)， 当4m+n=40，2m–3n=5时，
＝(2m＋4n)(4m＋ ＝2n4)(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后 的结果中有公因式，一定要 再用提公因式法继续分解.
探究新知
素养考点 2 多次因式分解
例2 分解因式： (1) x4 y4 ;
(2) a3 b ab.
解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2 ＝(x2+y2)(x2–y2)
巩固练习
2. 分解因式： (1)5m2a4–5m2b4；
(2)a2–4b2–a–2b.
解：(1)原式＝5m2(a4–b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2–b2) ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)
(2)原；式＝(a2–4b2)–(a＋2b) ＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b–1).
–(x×2+y2) y√2–x2
(x√+5y)(x–5y) (m√+1)(m–1)
平方差公式进行因 式分解，即能写成: ( )2–( )2的形式.
两数是平方， 减号在中央．
探究新知
素养考点 1 利用平方差公式分解因式的应用
例1 分解因式：
(1) 4x2 9;
(2) (x p)2 (x q)2.
C．a(a–2)(a+2)
D．a(2–a)2
2. 若a+b=4，a–b=1，则(a+1)2–(b–1)2的值为12 ．
解析：∵a+b=4，a–b=1，
∴(a+1)2–(b–1)2=(a+1+b–1)(a+1–b+1)=(a+b)(a–b+2)
=4×(1+2)=12．
课堂检测
基础巩固题
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
(1)16x2+24x+9；
(2)–x2+4xy–4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3²， 24x=2·4x·3， 所以16x2+24x+9是一个完全平方式
巩固练习
4.用平方差公式进行简便计算:
(1)38²–37²
(2)213²–
87²
解(：3)(12)293²8–²–13771²² =((348)+9317×)(389–37)
=75
(2) 213²–87² =(213+87)(213–87) =300×126=37800
(3) 229²–171²
=(229+171)(229–171) =400×58=23200