数值分析试题 2007.12一、简答下列各题：（每题4分，共20分）1．为了提高计算精度，求方程x 2－72x+1=0的根，应采用何种公式，为什么？2．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112A ，求)(A ρ和2)(A Cond 。
3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131122321A ，求A 的LU 分解式。
4．问23221)2(x x x x ++=是不是3R 上的向量范数,为什么？ 5．求数值积分公式⎰-≈ba ab a f dx x f ))(()(的截断误差R[ƒ]。
二、解答下列各题：（每题8分，共56分）1．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+3532314321321321x x x x x x x x x ，问能用哪些方法求解？为什么？2.解线性方程组b Ax =的Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？为什么？其中：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211111112A3.设]2,0[)(4C x f y ∈=，且0)0(,0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f ，试求)(x f 的三次插值多项式)(3x H ，并写出余项)()()(33x H x f x R -=。
4．给定离散数据试求形如3bx a y +=的拟合曲线。
5．求区间[0，1]上权函数为x x =)(ρ的正交多项式)(0x p ，)(1x p 和)(2x p 。
6．确定求积系数321,,A A A ,使求积公式：⎰+++-≈31321)532()2()532()(f A f A f A dx x f具有尽可能高的代数精度，并问代数精度是多少？7. 利用2=n 的复化Simpson 公式计算计算定积分 ，并估计误差][f R 。
三、（12分）已知方程0cos 2=-x x ， 1.证明此方程有唯一正根α；2.建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值]1,0[0∈x 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。
3.若取初值00=x ，用此迭代法求精度为510-=ε的近似根，需要迭代多少步？ 四、（12分）已知求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧∈=='],[,)(),(b a x a y y x f y α的差分公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==++=+α0121211)32,32(),()3(4y hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n 1．证明：此差分公式是二阶方法；2．用此差分公式求解初值问题1)0(,10=-='y y y 时，取步长h=0.25,所得数值解是否稳定,为什么？⎰10sin xdx数值分析试题（参考答案）一、1．应采用公式:1211221)13636(,13636---+==-+=x x x ，避免相近数相减。
2．A 的特征值为3,121==λλ，所以)(A ρ＝3；2)(A Cond ＝3⨯1＝1。
3．由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131122321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2/92/11522321，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2/95232112/11121A 。
4．不是，不满足非负性（如0)2,1,0(≠-=T x ,但0=x ）。
5．⎰--=ba ab a f dx x f f R ))(()()(),(,2)()())((2b a a b f dx a x f bax ∈-'=-'=⎰ξξξ.二、1．由于系数矩阵各阶顺序主子式都不为零，所以可用顺序Gauss 消元法； 由于系数矩阵行列式不为零，也可以用列主元(全主元)Gauss 消元法； 由于系数矩阵各阶顺序主子式都不为零，所以可用直接三角分解法（LU ）. 由于系数矩阵是严格对角占优矩阵，可用J-法，G-S 法和SOR(10≤<ω)法。
2.令021112=--λλλλλλ得：0)12(2=+λλ，所以G-S 迭代矩阵G 的特征值为:2/1,0321-===λλλ,于是12/1)(<=G ρ，所以G-S 迭代法收敛。
3.设002211003)()()()()(y x y x y x y x x H '+++=ψϕϕϕ)(2)(10x x ϕϕ+= 其中，)2)(1)(()(0--+=x x b ax x ϕ)2)(1)(23(4/1--+=x x x)2()(21-=x Cx x ϕ)2(2--=x x所以，)2(2)2)(1)(23(4/1)(23----+=x x x x x x H )2)(25(4/12-++-=x x x 〔或令)2)(()(23-++=x c bx ax x H ，用待定系数法求出。
〕余项为：)2,0(,)2)(1(!4)()()()(2)4(33∈--=-=x x x x x f x H x f x R ξξ 4.取310)(,1)(x x x ==ϕϕ，则有T T T f x )2,0,1,1(,)8,1,0,1()(,)1,1,1,1(10-=-==ϕϕ,正则方程组为⎩⎨⎧=+=+15668284b a b a ，拟合曲线：3322.006.05011503x x y -=+=。
5．区间[0，1]上x x =)(ρ的正交多项式：1)(0=x p ，32),(),()(1010200001-=-=-=⎰⎰x xdxdx x x p p p p x x x p ，)32()3/2()3/2()(12103110322-----=⎰⎰⎰⎰x dxx x dxx x xdx dxx x x p 103562+-=x x 。
6．令公式对f(x)=1,x,x 2精确成立，得2321=++A A A ,4)5/32(2)5/32(321=+++-A A A , 解得：98,95231===A A A3/26)5/32(4)5/32(32212=+++-A A A所以，公式为：)]5/32(5)2(8)5/32(5[91)(31+++-≈⎰f f f dx x ff(x)=x 3时，左＝20，右＝180/9＝20，公式精确成立，f(x)=x 4时，左＝242/5，右＝2178/5/9＝242/5，公式精确成立， f(x)=x 5时，左＝364/3，右＝1092/9＝364/3，公式精确成立， f(x)=x 6时，公式不精确成立，所以，公式的代数精度为5。
7．=++++=≈⎰]1sin 43sin 441sin 421sin 20[sin 121sin 210S xdx 0.459707744000018261.01628801sin 22880)01(|)(|445≈⨯=⨯-≤M f R 三、1.记x x x f cos 2)(-=，由于0sin 2)(>+='x x f ，所以)(x f 是严格单调增函数，又由于01)0(<-=f ，01cos 2)1(>-=f ，所以方程0)(=x f 有唯一正根α，且在区间(0，1)内。
2.将方程改写为：2/cos x x =可建立迭代格式：,...2,1,0,cos 2/11==+k x x k k ，且迭代函数为：x x cos 2/1)(=ϕ。
由于]1,0[,12/1)(1cos 2/10∈<≤≤<x x ϕ ，且]1,0[,121sin sin 21)(∈<≤='x x x ϕ，所以，对任意]1,0[0∈x 此迭代法收敛，又由于)1,0(,0sin 21)(∈≠='αααϕ此迭代法是线性收敛的，即收敛阶为1。
3.128.13)1sin 2/1ln(/2/1)1sin 2/11(10ln ln /||)1(ln 501≈-=--≥-L x x L k ε，k ＝14。
若取L=1/2，可得k ≥16.6096，则取k ＝17。
四、1.由于+∂∂+∂∂+=++=)(32)32,32(12n nn n n n f yf x f h f hk y h x f k)()9494294(23222222222h O f h yf f h y x f h x f h n n n n n +∂∂+∂∂∂+∂∂+ 所以有：+∂∂+∂∂++=+)(221n n n n n n f y f x f h hf y y )()2(642222223h O f yf f y x f x f h n n n n n +∂∂+∂∂∂+∂∂+ 又由于：)()(!31)(21)()()()(4321h O h x y h x y h x y x y h x y x y n n n n n n +'''+''+'+=+=+ +∂∂+∂∂++=)(22n nn n n f yf x f h hf y )()(!643h O x y h n +''' 所以有：)()(311h O y x y n n =-++,此差分公式是二阶方法。
2.对1)0(,10=-='y y y ，由于)320(10,1021n n n hy y k y k --=-=，差分公式为： n n n y h h k k hy y )50101()3(42211+-=++=+ 当h ＝0.25时，由于|1-10h+50h 2|＝1.625>1，所以，所得数值解不稳定。