专题19与圆有关的角 例1连结AE ，BD ，则AE ⊥BC ，BD ⊥AC ，CE ＝BE ＝1，AE ＝2.由AE·BC ＝AC·BD ，得BD ＝455，
CD ＝255，又CD CA ＝DF AE ，得DF ＝45，故S △CDE ＝12CE·DF ＝12×1×45
＝25. 例2 B 提示：BM 2＝MD·MA.
例3 ⑴略.⑵如图，连结ON ，AE ，BD ，并延长BD 交AE 于点F ，可证
明△BCD ≌△ACE ，BF ⊥AE ，∴ON ∥＝ 12BD ，OM ∥＝ 12
AE ，∴OM ＝ON ，OM ⊥ON ，故MN ＝2OM. ⑶结论成立，证明略.
例4 提示：由△ABE ∽△ACD ，△ADE ∽△ACB 分别得AB·DC ＝AC·BE ，
AD·BC ＝AC·DE ，两式作加法得A B ·DC ＋AD·BC ＝AC·BD.
例5 ⑴连结BM ，OA ＝2，OB ＝4，在Rt △BOM 中，(r －2)2＋42＝r 2，∴r ＝5，即AM ＝ 5，OM ＝3，∴M(3，0). ⑵连结AC 交BM 于G ，则BM ⊥AC 且AG ＝CG ，可证△AMG ≌△BMO.∴AG ＝OB ＝4，AC ＝8，OM ＝MG ＝3，BG ＝BM －GM ＝2，AD ＝10，CD ＝6.∴S 四边形ABCD
＝S △ACD ＋S △ABC ＝12A C ·CD ＋12AC·BG ＝12×8×6＋12×8×2＝32. ⑶∵BC ＝BE ，∴∠BCE ＝∠
BEC.又∠BCE ＝∠BCA ＋∠ACF ，∠BEC ＝∠BDC ＋∠DCF ，且∠BCA ＝∠BDC ，∴∠ACF ＝∠DCF ＝12∠ACD ＝45°，∴△ADF 为等腰直角三角形.AF ＝DF ＝5 2.作DT ⊥CF 于T ，CT ＝DT ＝32，TF ＝DF 2－DT 2＝42，∴CF ＝CT ＋TF ＝7 2.
例6 ⑴连结BC ，∵AB ＝AC ，∴∠2＝∠5，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，
即∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠4，∴∠DAC ＝∠DBC ＝∠4＋∠3＝2
∠4，即∠DAC ＝2∠DBE.⑵延长DA 至点G ，使AG ＝AE ＝AC ，则∠DAC
＝2∠G ，而由⑴知∠DAC ＝2∠DBE.∴∠DBE ＝∠G.又∠BDE ＝∠GDC ，∴
△BDE ∽△GDC ，得BD DG ＝DE DC ，即DG·DE ＝BD·DC.∴(AD ＋AG)(AD －AE)＝
BD·DC.∵AB ＝AE ＝AG ，∴(AD ＋AB)(AD －AB)＝BD·DC ，故AD 2－AB 2＝
BD·DC.
A 级1.30°≤x ≤90° 2.4 3.8 4.－14x 2＋x 5.C 6.
B 7.B 提示：其中①
③正确.
9．提示：(1)连结BM ，证明Rt △CEN ≌Rt △BMN ．(2)连结BD 、BE 、AC ，证明△BED ∽△FEB ．(3)结论仍成立． 10．连结AM ，过M 作MD ⊥AC ，交直线AC 于点D ，则Rt △AMH ≌Rt △AMD ，Rt △MHB ≌Rt △MDC ． 11．(1)连结OA ，OC ，则Rt △OFC ≌RtOGC ≌Rt △OGA ．∴123OFC OAC ABC OFCG S S S S ∆∆∆===四边形． (2)连结OA ，OB ，OC ，由△AOC ≌△COB ≌△BOA ，得∠OCB ＝∠OAC ，∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠EOC ＝120°，∠DOE ＝∠COF ＋∠COE ＝120°，∴∠AOE ＝∠COF ，∵∠OAC ＝∠OCB ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAG ≌△OCF ，故13
AOC ABC OFCG S S S ∆∆==四边形． 12．如图，过点O 作直线
OP ⊥BC ，分别交BC ，KL ，AD 于点P ，H ，N ，则ON ⊥AD ，OH ⊥KL ，连结DO ，
LO ，在Rt △NDO 中，ON 4，OP ＝PN －ON ＝2，设HL ＝x ，则PH ＝KL ＝2x ，OH ＝OP ＋PH ＝2＋2x ．
在Rt △HOL 中，x 2＋ (2x ＋2)2＝52，解8、B
9、提示：22()AD BD DE DE EB DE DE BE DE ==+=+，又EB DE AE EC =
10、由AB AE AC AB
=，∠BAE =∠CAB ，得ABE ∆~ACB ∆，故∠ABE =∠ACB =∠ADB ，
AB AD ∴=，连接AO ，交BD 于F ，则4BF DF ==。

又3OF =，
2AF OA OF =-=，从而182
ABD S BD AF ∆== 11、提示：连接AO 交延长交⊙O 于点E ，连接BE ，由~ADC ABE ∆∆，得
AD AC AB AE =， 故212(39)6
y x x x =-+≤≤。

当6AB =时，⊙O 的最大面积为36π 12、（1）∠CAD =∠CBD （同弧所对圆周角相等），∠AEC =∠BED ，~ACE BDE ∴∆∆
（2）∠DBC =12
∠DOC =45︒︒，∠90EDB =︒，BDE ∴∆是等腰Rt ∆,BD DE ∴=
（3）144)2
y x =-<<
B 级
1、ab d
21 提示：连接AB ，∠60BAO =︒ 3、1 4、()2a b + 5、D 6、A 提示：以A 为圆心、AB 为半径画圆
7、C 提示：GFA ∆、FDC ∆EDA ∆都与GDE ∆相似
8、C 提示：连接AD ，DE ，可证明~ECD ABC ∆∆
9、（1）延长BA ，CD 相交于P ，则PC BC =，6AB AP ==，7PE CE ==， 14PC BC ==。

由~PAD PCB ∆∆，得AD AP BC PC
=，6AD ∴= （2）CA ，BE 是PCB ∆的中线，设CA ，BE 的交点G ，
则G 为重心，13AG AC ∴=，
23BG BE =，而AC =AG ∴=，223BG =，3112
BE BG ∴==
10、（1）A （0，B （1，0）
（2）四边形ACOM 为菱形
（3）AC OC =，∠60APO =︒，PC 平分∠APO ，
可以证明2cos30PA PO PC +=︒，
故2PA PO PC +==为定值。

11、（1）如图连接PE ，EF ，PF ，∠90EAF =︒，EF ∴为⊙O 的直径，
则∠90FPE =︒
又∠90APD =︒，∴∠EPD =∠APF ，显然，PD PA =，∠PAF =∠45PDE =︒， 因此，PDE ∆≌PAF ∆，故DE AF =
（2）DE AF =,21AE AF AD ∴+==+，又2223AE AF EF +==，即2AE +
223AF EF ==，即2()23AE AF AE AF +-=，故2AE AF =
，于是AE ，AF 是方程2(21)20x x -++=的两个根，解得2AE =，1AF =或1AE =，
2AF =，所以2
22AE
ED =或。