九年级圆专题复习第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。

如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。

在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。

如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。

一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测1. （2013•武汉四月调考）在圆O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA=PC. （1）如图1，求证：OP//BC ；（2）如图2，DE 切圆O 于点C ，若DE//AB ，求tan ∠A 的值。

2. （2013•武汉中考）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB 、PC（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3 ；（2）如图②，若sin ∠BPC=2524,求tan ∠PAB 的值。

3. （2014•武汉四月调考）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点． （1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ； （2）如图2，若sin ∠P=，求tan ∠C 的值．4.（2014•武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5 (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长5.（2015•武汉四月调考）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ． （1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD=BE ；（2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2 2 ，OF ＝3，求⊙O 的直径．6.（2015•武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ． （1）求证：AT 是⊙O 的切线；（2）连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC ．7.（2016•武汉四月调考） 已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ．(1)如图1，求证：BD= ED ；(2)如图2,AO 为⊙O 的直径，若BC= 6,sin ∠BAC=53，求OE 的长．E D O A B CF D OA B C8.（2016•武汉中考）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ．(1) 求证：AC 平分∠DAB ；(2) 连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝54，求FCAF 的值．9.（2017•武汉四月调考）如图，□ABCD 的边AD 与经过A 、B 、C 三点的⊙O 相切(1) 求证：弧AB ＝弧AC(2) 如图2，延长DC 交⊙O 于点E ，连接BE ，sin ∠E ＝1312，求tan ∠D 的值归纳：1.从知识上归纳：（1）已知三角函数求三角函数的有：（2017•武汉四月调考）、（2013•武汉中考）、（2014•武汉四月调考）（2）已知三角函数求比值的：（2016•武汉中考）（2015•武汉中考） （3）已知三角函数求长度：（2016•武汉四月调考）（5）求三角函数：（2013•武汉四月调考）、（2015•武汉中考） （6）已知勾股定理求长度：（2014•武汉中考）（2015•武汉四月调考） 2.从题型上归纳：（1）考查圆周角转到圆心角一半的位置及圆中等腰三角型有：（2014•武汉四月调考）、（2016•武汉四月调考）、（2013•武汉中考）、（2017•武汉四月调考） （2）考查1，2，5三角型的有：（2015•武汉中考） （3）考查垂径定理和勾股定理的有：（2014•武汉中考） （4）考查旋转型相似与圆中构矩形的有：（2016•武汉中考）预测：近几年的四调和中考，对圆中三角函数的考查的年份占到很大的比例，单独考勾股定理的年份较少，仅仅只有2014年中考和2015年四调，其他年份都涉及三角函数，而且今年的四调更是已知三角函数求三角函数。

纵观2016年全国各地中考题对圆的考查，逐步在降低难度，主要集中在圆的第2问。

而第2问主要考查学生转化、计算的能力和方程思想。

那么三角函数不管作为条件，还是结论，不管是计算还是证明，学生都知道要有直角，原处作垂直还是转化？怎么转？往哪个方向转？转了之后有什么意义？怎么打通条件和结论的连接点。

这恰恰时学生的难点，也是我们教师需要传递给学生的地方。

如果教师能够引导学生将第21题第（2）问考查的题型结构归纳为几个重要的熟悉的题型，那么学生就非常自信，相信按照老师的指导方法一定能够做出这道题来，让考生百分百在道题上能得分，是我们老师需要研究的。

二、几种重要的题型和结构（一）圆中等腰三角形的结构及其类似结构知识储备：等腰三角形的顶角与底角之间的三角函数是可以任意切换的。

只需要作底上的高和腰上的高即可。

（1）已知顶角三角函数求底角三角函数，顶角半角的三角函数 例1.1.如图，已知在等腰ABC 中，AB AC =， 3sinA 5=，求tan B ，cos 2A（2）已知底角三角函数求顶角三角函数，顶角半角的三角函数。

例1.2.如图，已知在等腰ABC 中，AB AC =， tanC 2=，求cos A ，sin 2A（3）已知顶角半角的三角函数，求顶角的三角函数和底角的三角函数 例1.3．如图，如图，已知在等腰ABC 中，AB AC =，310cos 210A =， 求sin A ，tan B转化一：圆中没有等腰三角形可以观察是否可以转化到一个等腰三角形中，变成熟悉的题型 例1.4．（2014•武汉四月调考）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点．（1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ； （2）如图2，若sin ∠P=，求tan ∠C 的值．转化二：圆中有等腰三角形根据需要作底上的高（注意证明共线）和腰上的高 例1.5．如图，AC 为O 的直径，ABD 为O 的内接三角形，AB BD =，BD 交AC 于F 点，BE AD交AC 的延长线于E 点。

（1）求证：BE 为O 的切线；（2）若4AF CF =，求tan BAE ∠的值。

例1.6．.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一动点，点D 是优弧AC的中点，连接DO ，若点C 为AB 上任意一点（不与A 、B 重合），连接AC ，当tan 2BAC ∠=时，求DAB ∠的值。

转化三：圆中等腰三角形顶角的三角函数通常可以转化到圆心角的一半处 例1.7．（2016•武汉四月调考） 已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ．(1)如图1，求证：BD= ED ；(2)如图2,AO 为⊙O 的直径，若BC= 6,sin ∠BAC=53，求OE 的长．OFCB AODCBA例1.8．如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的O 交AD 于E ，且与CD 相切。

（1）求证：CD CE =（2）若4AB =，6BE =，求cos EBC ∠转化四：圆中非等腰三角形的结构中，圆周角的三角函数都可以放在圆心角的一半处 例1.9．（2017•武汉四月调考）如图，□ABCD 的边AD 与经过A 、B 、C 三点的⊙O 相切 (1) 求证：弧AB ＝弧AC(2) 如图2，延长DC 交⊙O 于点E ，连接BE ，sin ∠E ＝1312，求tan ∠D 的值例1.10.如图，在O 中，AB AC =，D 为AB 上任意一点，若3cos 4BDC ∠=，求tan ADC ∠的值（二）切线长定理与射影图结构 图形结构：方法归纳：切线长定理产生对称射影图，对称射影图中，任意知道两条线段，其他线段均可求。

转化手段有，相似、三角函数，面积，勾股定理OE CBAK BAOBOCDA例2如图，AC 为O 的直径，且PA AC ⊥，点B 在O 上，PB 交AC 的延长线于点D ，C 为AD 的中点，2DB BP =。

（1）求证：PB 为O 的切线。

（2）点E 为O 上一点，求cos BEA ∠的值。

（三）圆与1，2，5的三角形等腰直角三角形的一直角边作为直径作圆都可以归为1，2，5型例3.1（2015•武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ． （1）求证：AT 是⊙O 的切线；（2）连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC ．变式一：延长TO 交O 于M ，连接AM ，求tan M ∠的值。

变式二：延长TO 交O 于M ，连接EM ，求tan BEM ∠的值变式三：连TO 交O 于F ，连接BF ，求tan TBF ∠，sin ABF ∠的值。

OEC BA变式四：如图，AB 是O 的直径，045ABT ∠=，AT AB =。

（1）求证：AT 是O 的切线；（2）若C 是TB 上一点，12BC CT =，连接OC ，AC ，求tan ACO ∠的值。

（四）母子型结构知识结构：BAD BCA结论：①BAD C ∠=∠ ②2BA BD BC =⋅； ③字母比=tan tan BD BA ADC BAC BA BC AC===∠=∠例4.1.如图ABC ，O 为BC 上一点，O 过A 、C 两点交BC 于D ，BA 为O 的切线，若3sin 5B ∠=，求tan BAD ∠（五）弧（非半圆）的中点与赵州桥问题结构条件的给法：①点F 为BE 的中点；②AF 平分BAE ∠。

连接OF 交BE 于K ，如果给拱高FK 和跨度BE 的长，可以在BOK 中用勾股定理，如果给拱高FK 和BF 的长，则可以在BOK 和BFK 中用双勾股列方程。

OFEBATOCBA例5.1.如图，AC DC =，AC 平分DAB ∠。

（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若54AC AD =，求sin BAD ∠的值。

例5.2.四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，BC DC =（1）求证：OC AD ；（2）OF AD ⊥于E ，交CD 的延长线于F ，若27BC AD =，求cos F ∠的值（六）旋转型相似与矩形结构条件的给法：CD AD ⊥,AC 平分BAD ∠（或者）点C 为BE 的中点 转化手段：①DACCAB ；②连接BE 、CO 交于K 点，则得矩形EDCK ；③连接OC ,过点O 作OQ 垂直AE 于点Q ，则得矩形OCDQ ；④连接OD 交AC 于点F ，则可用X 型转化比例； ⑤连接BE 交AC 于点H ，则可用X 型转化比例； ⑥过点B 向直线DC 作垂线则形成母子型相似。